山东省冠县武训高级中学高考数学 4.6 正弦定理和余弦定理复习题库由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“正弦定理余弦定理例题”。
山东省冠县武训高级中学高考数学复习题库：4.6 正弦定理和余弦定
理
一、选择题
1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于()．
A．135°B．105°C．45°D．75°
解析 由正弦定理知
＜AB，∴A＝45°.答案 C
2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小
为()．
A．60°B．90°C．120°D．150°
解析 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)－c＝ab，∴c＝a＋b＋ab＝a＋b－2abcos C，1∴cos C＝－，∴C＝120°.2答案 C
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()
A．0B．
1C．2D．无数个 解析：直接根据正弦定理可得2222222AB232，即，所以sin A＝，又由题知，BCsin Asin Csin Asin 60°2BCa
sin Asin Bb，可得sin B＝bsin A3λsin 45°6>1，aλ
2没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bsin B，则sin Acos A
＋cosB等于()．
11A．－B.C．－1D．1 22
解析 根据正弦定理，由acos A＝bsin B，得sin Acos A＝sinB，∴sin Acos A＋cosB
＝sinB＋cosB＝1.答案 D
5.在ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若ab2c，则cosC的最小22222222
值为（）
A.11B.C.D. 2
222
a2b2c22c2c21解析 cosC2，故选C.2
2ab2ab
答案 C
6．在△ABC中，sin A≤sin B＋sin C－sin Bsin C，则A的取值范围是()．
ππππA.0，B.，πC.0D.，π
6363
解析 由已知及正弦定理有a≤b＋c－bc，而由余弦定理可知a＝b＋c－2bccos A，于122
是可得b＋c－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥ABC中，0＜A＜π，故A
π∈0，.3
答案 C
7．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)－c＝4，且C＝60°，则ab的值为()．
42A.．8－43C． 3
3a＋b－c＝4解析 依题意得222
a＋b－c＝2abcos 60°＝ab，两式相减得ab＝，选A.答案 A
二、填空题
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
解析 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝3，∴cos C＝
31，∴sin C＝；在△ADC中，由2
2ADAC21
正弦定理得，∴AD＝＝2.sin Csin∠ADCsin 45°2
答案
9.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，3a＝2csin A，角C＝________.解析：根据正弦定理，sin Asin C
ac
由3a＝2csin A，得＝，sin A3
2∴sin Cπ答案：
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶
sinB∶sinC为______．
3π，而角C是锐角．∴角C＝.23
ac
答案 6∶5∶
411．若AB＝2，AC2BC，则S△ABC的最大值________．
解析(数形结合法)因为AB＝2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝2BC，得 x＋12
＋y＝2 2
x－12
＋y，化简得(x－3)＋y＝8，222
即C在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，1
所以S△ABC＝AB|·|yC|＝|yC|≤22，故答案为22.2答案 2
batan Ctan C
12．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝6cos C，则＋
abtan Atan B的值是________．
1423222
解析 法一 取a＝b＝1，则cos C由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C∴c＝，33322
在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tan A＝tan B2，又sin C＝，tan C＝22，3tan Ctan
C∴＝4.tan Atan B
baa2＋b2a2＋b2－c2
法二 6cos C，得＝6·
abab2ab
32tan Ctan Ccos Acos B＝ 22
即a＋b＝c，∴＋＝tan C2tan Atan Bsin Asin BsinC2c
＝222＝4.cos Csin Asin Ba＋b－c答案 4
三、解答题
13．叙述并证明余弦定理．
解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a＝b＋c－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C，法一 如图(1)，图(1)
a2＝BC·BC
→→→→＝(AC－AB)·(AC－AB)→2→→→2＝AC－2AC·AB＋AB
→2→→→2＝AC－2|AC|·|AB|cos A＋AB
＝b－2bccos A＋c，即a＝b＋c－2bccos A.同理可证b＝c＋a－2cacos B，c＝a＋b－2abcos C.法二
图(2)
已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，∴a＝|BC|＝(bcos A－c)＋(bsin A)＝bcosA－2bccos A＋c＋bsinA ＝b＋c－2bccos A.同理可证b＝c＋a－2cacos B，→→
c2＝a2＋b2－2abcos C
.14．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝解析：由余弦定理b＝a＋c－2accos B 2π22
＝a＋c－2accos
3＝a＋c＋ac＝(a＋c)－ac.又∵a＋c＝4，b13，∴ac＝3.a＋c＝4，联立
ac＝3，
2π
b13，a＋c＝4，求a.3
解得a＝1或a＝3.15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值
.cos A－2cos C2c－a
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.cos Bbsin C
(1)求
sin A
(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
4解析(1)＝k，sin Asin Bsin C2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin A则＝＝
bksin Bsin Bcos A－2cos C2sin C－sin A所以.cos Bsin B
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，abc
所以sin C＝2sin A，因此sin C
sin A
2.(2)由sin Csin A2得c＝2a.由余弦定理及cos B＝1
得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a214
＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.
