高中数学奥数培训资料之梅涅劳斯定理_高中数学教师培训资料

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兰州成功私立中学高中奥数辅导资料

（内部资料）

平面几何的几个重要的定理

一、梅涅劳斯定理：

定理1：若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC、CA、AB或它们 的延长线分别交于P、Q、R，则

BPCQ

PCQAAR

RB

1证：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线

l的垂线的长度，则：

BP

PCCQARBhC

QARBh

hhA

ChAh1B

注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；

例1：若直角ABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点

在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF//CE。证：在EBC中，作B的平分线BH

则：EBCACK

HBCACE

HBCHCBACEHCB90

即：BHCE EBC为等腰三角形 作BC上的高EP，则：CKEP 对于ACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有： CD DAAE

EKKF

FC

1于是KFEK

FC＝AECKEP

ACACBPBK

BCBE

KFBK

FC＝BE

依分比定理有：KF

KC＝BK

KE

FKBCKE

BF//CE

【练习1】从点K引四条直线，另两条直

和A1、B1、C1、D1，试证：

ACBC

:

线分别交这四条直线于ADBD

A1C1B1C

1:A1D1B1D1

三点，并且CQQA

ARRB

1，A、B、C、D

定理2：设P、Q、R分别是ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的P、Q、R三点中，位于

ABC边上的点的个数为0或2，这时若

BPPC



求证：P、Q、R三点共线；

证：设直线PQ与直线AB交于R，于是由定理

BPPC又

CQQAAR

'

'

'

1得：

RB



1AR

'

'

BPPC

CQQA

ARRB

1RB

'

＝

ARRB

由于在同一直线上的'

P、Q、R三点中，位于ABC边上的点的个数也为

'

0或2，因此R与R或者同在AB线段上，或者同在'

'

AB的延长线上；

设ARAR,''

若R与R同在AB线段上，则R与R必定重合，不然的话，这时ABARABAR,即BRBR,于是可得

这与

ARBR

＝

ARBR

''

'

'

ARBR



ARBR

矛盾

R与R同在AB的延长线上时，'

类似地可证得当R与R也重合'

综上可得：P、Q、R三点共线；

注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；

例2.点P位于ABC的外接圆

证明点A1、B1、C1共线

证：易得：

BA1CA1AB1AC

1

BPcosPBCCPcosPCBCPcosPCAAPcosPACAPcosPABPBcosPBA,CB1

BC

将上面三条式子相乘，且PACPBC,PABPCB,PCAPBA180

可得

BA1CA1



CB1AB1



ACBC

＝1，依梅涅劳斯定理可知

A1、B1、C1三点共线；

【练习

2】设不等腰ABC的内切圆在三边

AB上的切点分别为

BC、CA、D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上；

【练习3】已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和

A1B1的交点为C2，直线BC与B1C1的交点是A2，直线AC与A1C1的交点是B2，试证：A2、B2、C2三点共线；

【练习4】在一条直线上取点

E、C、A，在另一条上取点

B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线

练习1的证明

证：若AD//A1D1，结论显然成立；

若AD与A1D1相交与点L，则把梅涅劳斯定理分ADLDLDBD

LD1A1D1BKB1K

A1KAKLD

111

ADBCA1C1B1D1

1

ACBDA1D1B1C1LCAC

AKA1K

A1C1LC

别用于A1AL和B1BL可得：BCLC

LC

1

B1C1



B1KBK

1

B1D1

将上面四条式子相乘可

ACADACAD:11:11

BCBDB1C1B1D1

练习2的证明

证：ABC被直线XFE所截，由定理

又AEAF同理可得：

1BXXCEABD

＝

BXXC



CEEA



AFFB

1

代人上式可得：＝

DCAF

AZZB

＝

FBCE

CYYA

将上面三条式子相乘可

BXCYAZ

1

XCYAZB

2可得X、Y、Z三点共线

又X、Y、Z都不在ABC的边上，由定理

练习3的证明

证：设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交点，对所得的三角形和在它

们边上的点：

OAB和(A1，B1,C2),OBC和(B1，OA1AA

1CA2BA

21

CCOC

ABCB

C1,A2),OAC和(A1，C1,B2)应用梅涅劳斯定理有：AA1OA1

OB1BB



BCAC

1

OCCC



BB

OB1

BCAC



CA2BA2ABCB

1





1

将上面的三条式子相乘由梅涅劳斯定理可知



A2,B2,C2共线

练习4的证明

证：记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对UVW，应用梅

涅劳斯定理于五组三元UEVEWAVA

VLWLUCWC

WDUDVEUE

11

VAWAWBVB



点(L,D,E),(A,M,F),(B,C,N),(A,C,E),(B,D,F)，则有UFVFUDWD

WMYMVFUF

11

UNVN

WCUC

VBWB

1



将上面五条式子相乘可

VLWMUN1,点L,M,N共线

WLUMVN