代数基本定理可叙述为_代数基本定理

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代数基本定理可叙述为：“任何n（n>0）次多项式p(z)a0zna1zn1...an（a00）在复数域中至少有一个根。”此定理的一个直接结果是：“任何n(n>0)次

多项式p(z)a0zna1zn1...an（a00）在复数域中有n个根（重根按重数计

算）。”

一元一次方程有且只有一个根，一元二次方程在复数域中有且只有两个根，因此，人们自然研究一元n次方程在复数域中有几个根。此外，当初的积分运算中采用部分分式法也引起了与此有关的问题：是不是任何一个实系数多项式都能分解成一次因式的积，或分解成实系数的一次因式和二次因式的积？这样的分解，关键证明代数基本定理。

代数基本定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但他的证明是首先默认了数学分析中一条明显的引理：定义在有限闭区间上的连续函数一定在某一点取得最小值，而这个引理在达朗贝尔的研究100年以后才得到证明。接着，欧拉也给出了一个证明，但有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了此定理，后经高斯分析，发现他的证法中把实数的尚未证明其真实性的各种性质应用了，所以该证明仍然是很不严格的。

1799年，高斯在他的博士论文中第一个严格证明了代数基本定理，其基本思路如下：设f(z)为n次实系数多项式，记zxyi(x, y为实数)，考察方程：f(xyi)u(x,y)v(x,y)i0

即u(x,y)0与v(x,y)0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线c1与c2，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点z0abi，从而

得出

u(a,b)

v(a,b)0