高中数学培优材料1：平面几何(梅涅劳斯定理)_高中数学培优资料

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国光中学数学培优系列讲座——竞赛二试系列讲座

高中数学培优讲座

第一讲：平面几何——梅涅劳斯定理、塞瓦定理

在中国数学奥林匹克(CMO)的六道试题中，以及国际数学奥林匹克（IMO）的六道试题中，都至少有一道平面几何试题的存在。同样，在每年十月份进行的全国高中数学联赛加试的三道试题中，必有一道是平面几何题，占全国高中数学联赛总分300 分中的50 分，因此有人曾说：“得几何者，得一等奖”。除了在初中的课本中已经介绍的重要定理之外，在数学竞赛中，平面几何问题还要用到许多著名的定理，现择其应用较广的几个介绍如下.（一）梅涅劳斯定理

定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.三点，则：

FB

DC

EA

1.1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：①若直线与三角形的一

边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等式.（3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.B点到分点

分点到C点

C点到分点

分点到A点

1.（1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过A作AG//BC交DF延长线于G，∵AG//BC，∴

AF

AG，CE

CD

FBBDEAAG，∴

AF

FBCEEABDCDAGBDCDAGBDCD1，∴AFFBBDDCCEEA1.国光中学数学组 黄晓琳 邮箱：ymhc100@163.com 手机：***QQ：35984906

3（2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过A、B、C作AA'、BB'、CC'垂直

已知直线，由直角三角形相似比，易知

AFAA'BDFBBB'、DC

BB'CC'、CE'EA



CCAA'，∴

AFAA'FB

BDDC



CEEA



BB'BB'CC'CC'

AA'



1.（3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉及后面解三角形知识（置后）.（常用于证明三点共线）如果有三点D、E、F分别在三角形ABC的三边

或其延长线，且满足：

AFFB

BDDC

CEEA

1，则三点D、E、F在同一直线上.（2）角元形式的梅涅劳斯定理：如果一直线顺次与三角形ABC的三边BC、AC、AB

或其延长线交于

D、E、F

三点，则三点DEF共线等价于

sinBADCBEsinACFsinDAC



sinsinEBA



sinFCB



1.例题1：已知过ABC顶点C的直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：

AEAFED

2FB

.证明：直线CEF截ABD，由梅涅劳斯定理，得：AFBC2CDFBCDDEEA

1，又BC，∴

AFDE1，则AEAFFB

EA

2ED

2FB

.[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等.变式练习１：在△ABC 中，AG是角平分线，D是BC

中点，DG⊥AG交AB于E，交

AC延长线与F，求证：BE=CF=

2(ABAC)．

F

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例题2：已知过ABC重心G的直线分别交边AB、AC及CB延长线于点E、F、D，求证：

BEEA

CFFA

1.证明：连接AG并延长交BC于M，则BMCM，∵DEG截ABM，∴由梅氏定理得，BEEAAGGMMD

DB

1；

同理：CFFA

AGGMMDDC



1∴

BEGMEA

AG

DBMD，CF

FAGM

AGDCMD，∴BE

CF

GM(DBDC)GMDBDCEAFAAGMDAGMD12211，即BEEACF

FA

1.变式练习２：（塞瓦（Ceva）定理）在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交

对边于D、E、F，求证：

AFBDCEFB

DC

EA

1．

例题1：若ABC的A的外角平分线交边BC延长线于P，B的平分线交边AC于Q，C的平分线交边AB于R，则P、Q、R三点共线.证明：由三角形内、外角平分线定理知：

BPBAPC



CA，CQQA

BCAB，ARCARB



CB，则

ARBPCQCAP

RB



PC

QA

CB



BACA



BCAB

1，故P、Q、R三点共线.国光中学数学组 黄晓琳 邮箱：ymhc100@163.com 手机：***QQ：35984906

3变式练习１：（帕斯卡（Pascal）定理）圆内接六边形ABCDEF的三双对边的延长线交

于三点P、Q、R，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）

例题2：（莱莫恩（Lemoine）定理）过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线.证明：∵CR是⊙O的切线，∴RAC∽RCB，∴

RA

RC

RC

RB



ACCB，R

RA

则RBRARCRCAC

2RB(CB)，同理：

BPAB2

CP

（AC)，CQQA

（BC2

BA)

∴

ARCA2

RB



BPPC



CQQA

（CB)（BACA)（BCAB)1，故P、Q、R三点共线.变式练习2：（西姆松（Simson）定理）若从△ABC的外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．（此线常称为西姆松线）.