数学分析 隐函数定理及其应用由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“隐函数定理及其应用”。
《数学分析》教案
第十八章 隐函数定理及其应用
教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；
2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；
3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。
教学重点难点：本章的重点是隐函数定理； 教学时数：14学时
§ 1 隐函数
一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1.隐函数及其几何意义: 以
为例作介绍.2.隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性;ⅱ> 隐函数的解析性质.二.隐函数存在条件的直观意义: 三.隐函数定理:
Th 1(隐函数存在唯一性定理)若满足下列条件: ⅰ> 函数
ⅱ>
在以
为内点的某一区域D
上连续;
;(通常称这一条件为初始条件)
《数学分析》教案
例3(反函数存在性及其导数)设函数 有连续的导函数, 且,在点的某邻域内
.用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数.P151例4 五.元隐函数: P149 Th3 例4
是
.验证在点
存在的隐函数 , 并求偏导数.P150 例3
§ 3 几何应用
一.平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为
.有
.切线方程为 , 法线方程为
.例1 求Descartes叶形线
在点
处的切线和法线.P159例 1.二.空间曲线的切线与法平面 : 1.曲线由参数式给出 :
.切线的方向数与方向余弦.《数学分析》教案
§ 4 条件极值
一.条件极值问题 : 先提出下例: 例 要设计一个容积为的长方体形开口水箱.确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小.分别以、宽和高 , 该例可表述 和 表示水箱的长、为 : 在约束条件
之下求函数的最小值.条件极值问题的一般陈述.二.条件极值点的必要条件 : 设在约束条件 的点 是函数
之下求函数的极值.当满足约束条件的条件极值点 , 且在该点函数
决定隐函数,于是点.满足隐函数
存在条件时, 由方程 数
就是一元函的极限点 , 有
代入 , 就有 ,(以下 即、、、均表示相应偏导数在点,),的值.)—, ， 亦即（）
.可见向量()也与向量)与向量,)正交.注意到向量, ,)与向量)
.，)线)正交, 即得向量(,)+ 性相关, 即存在实数, 使（《数学分析》教案
下的极小值.并证明不等式 数.168 例3, 其中 为任意正常
