重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
扩展资料
证明一
1、重心到顶点的.距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG
证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
方法二 连接EF
利用三角形相似
求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC
利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA、BOB、COC分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：
OA=1/3AA
OB=1/3BB
OC=1/3CC
过O，A分别作a边上高OH，AH
可知OH=1/3AH
则，S△BOC=1/2×OHa=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可证S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以，S△BOC=S△AOC=S△
