海大数学专业硕士研究生《矩阵分析》试题_矩阵分析试题含答案

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海大2013数学专业硕士研究生《矩阵分析》试题

姓 名__________ 学 号 _________________ 分 数___________

一、计算题(共30分)

1.（8分）设函数矩阵

16costA(t)sin2t 0tarccott

试求 A(t)dt.2.（8分）设矩阵

200A211

021

试求 e.3.(8分)将矩阵A谱分解 At

133A353.664

4.（6分）设1,2,3是三维空间V的一个基，V的线性变换T在这个基下的矩阵为

123A234

012

求T的核空间Ker T和T的像空间Im T.二、证明题（共40分）

1．（20分）证明：在连续函数构成的线性空间Ｃ［ａ，ｂ］定义：f(x),g(x)C[a,b]

（f(x),g(x)）1

f(x)g(x)dx 

则在此定义下，该线性空间构成一个内积空间。并验证，cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx1

构成它的一组标准正交基。

2．（20分）设T是复内积空间V中的线性变换，则下面的叙述是等价的：

（1）(T(),T())(,),（2）若e1,e2,V;,en是V的标准正交基，且T是在这个基下的矩阵为A，即,en)(e1,e2,TTT(e1,e2，en)A则A是酉阵。即AAAAE。

三、简单论述题(共30分)

1.在相似变换下，一个复矩阵最后相似的矩阵的标准形式是怎么样的？给出结论，并简单说明理由。

2.简谈你对利用建立空间来研究矩阵的认识。