研究生教学矩阵理论习题及解答_矩阵理论习题答案

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第七章 向量空间 §7.1 加法群与映射

1.证明：在加法群中消取律成立：若abac，则bc。

证明：若abac，在等式两边加上a，得

（a）ac（a）ab

a（a）（a）bac

0b0c，即bc。

2.证明：集合X到Y的双射的映射是由所唯一确定的。

证明：设也是的逆，则，，1（）（）1XY，即由所唯一确定。

3.设是加法群U到加法群V的保持加法的映射，证明：是单射的充要条件是：

keru（u）V，uUU 这里U，与V分别为加法群U和V的零元素，集合ker称为的核。

U 证明：必要性，设是单射，首先元uU显然在ker中，若ker中有非零，则

（u）（U）U ，这与是单射矛盾，从而ker充分性，设kerU。，则对于uv，有uvU，从而uvker，即

（u）（v）V（uv），（u）（v）得，也就是为单射。

§7.2 向量空间

（一）Vｎ1.把n元列向量空间表成它的n个子空间的直和。

a000a0P1.,P2.,....,Pn....00a，a。

解：记

显见，这些Pi都是Vn的子空间，于是

aP1P2...Pn，而且a的这种表示是唯一确定的，即

aP1P2....Pn 由a的任意性，知 VnP1P2....Pn。

2.设SS1S2....Sm，欲

SS1S2....Sm，必要且只要

(S1....Si1)Si，i2,3.....m。

必要且只要把这m个子空间分成任意两组(rtm)以后，恒有

Si1,....,Sir与

Sj1,....,Sjt，其中

(Si1....Sir)(Sj1....Sjt)()。

证明：(1)必要性，设SS1S2....Sm，则S中任意元aa1....am，其中aiSi时表法唯一。

(SS2....Si1)Sia(S1....Si1)Si对任意i2，若有1，取，则

aa1a2....ai1...aaiSi，其中，有两种不同的表法，矛盾。从而

(S1....Si1)Si 充分性，任取aS,由若a还可表成，i2,3.....m。

其中

aiSi.SS1S2....Sm，a可表成aa1a2....am,ab1b2....bm,其中

biSi,是a的另一种表达式，不妨设

btat,而当it时，atbt.则

a1....atb1....bt，(atbt)(a1b1)(a2b2)....(at1bt1)(S1S2....Si1)Si矛盾。从而a表达成S1,....Sm元素之和时，表法唯一。即SS1S2....Sm是直和。

Si1,....,Sir(2)必要性，任取S1,....,Sm的两个分组(Si1....Sir)(Sj1....Sjt)()与

Sj1,....,Sjt，若，设

(S....Si)(Sj....Sj)ai，1r1t则有

aaiai....aiajaj....aj12r12

aikSik,ajlSjlt，其中，SS1S2....Sm是a的两个不同的表达式，这就与

Si1,....,Sir矛盾。

充分性，若对任意分组与

Sj1,....,Sjt，(rtm)，都有(Si1....Sir)(Sj1....Sjt)()，特别的有

(S1....Si1)Si 于是SS1S2....Sm，i2,3.....m。

3.设V是向量空间，证明：线性变换把子空间变为子空间。

(S)(s)sS.证明：设是V的线性变换，S是V的子空间，记往证(S)是V的子空间。

(s1),(s2)(S).s1,s2S.，取其中则

(s1)(s2)(s1s2)(S)，s1s2S。再取(s)(S),a.，则

a(s)(as)(S).即(S)是子空间。

FXasS，4.设是数域上的全体一元多项式做成的向量空间，D是FX上的一个线性变换，满足

条件：

D(fg)D(f)gfD(g)。D(X)1。证明：D(f)是f的导式。

证明：取fg1，则D(1)D(11)D(1)11D(1)2D(1),得D(1)0。（D是线性变换）。

由D(x)1.用归纳法可得，对任意自然数kf(x)anx....a1xa0n，D(x)kxkk1。对任意，n

nanxn1D(f)D(anx)....D(a1x)D(a0)n2

(n1)an1x....a1，即D(f)是f的导式。

5.设V是一个非零的向量空间，证明：V不能表成它的两个真子空间的并集。证明：用反证法，不然，设VV1V2,其中V1,V2是V的两个真子空间，于是有v1V1,但v1V2,和v2V1,但v2V1,由VV1V2,于是v1v2V1V2,但若v1V1,则可得v1V1,若v1v2V2,则可得

v2V2,均矛盾，所以V不能表成它的两个真子空间的并集。

6.设V1,V2,W都是向量空间V的子空间，其中V1V2,并且有

WV1WV2,WV1WV2,V1V2.证明：

V2V1.证明：往证

V2V2(WV1)V2(WV1)V2WV1V2V1WV1V1.7.设于V1,....VsV1,....Vs是向量空间V的s个真子空间，证明V中至少有一个向量不属中的任何一个。

V1,....Vs证明：往证V不是s1成立，即V的并。用归纳法，s2的情况由题5，设命题对不能表成s1个真子空间的并，若V能表成s个真子空间

但

uVs,V1,....Vs的并，则由

vVs,V1V2....Vs1V,有

uV1....Vs1,s另由

Vs是真子空间，又有

vVs,V....Vs1,但v1由

uvVVi1i，若

uvVs,可得

若uvV1....Vs1,可得uV1....Vs1,均不可能，故命题对s个的情况也成立。

§7.3 有限维向量空间

（一）1.设f1，....fn是n维向量空间V中的n个向量，而V中任何向量均可由它们线性表示，则它们

构成V的一个基底。

g1,....gnf1，....fn 证明：设

是V的一个基底，由可表示V中每个向量，则有n阶矩阵P，使得

(g1,....gn)(f1,....fn)P

g1,....gn。

另外由是基底，又有n阶矩阵Q，使得

(f1,....fn)(g1,....gn)Q 由此可得。

于是PQIn(f1,....fn)(g1,....gn)Q(f1,....fn)PQ，即Q是可逆矩阵，由此

f1，....fn也构成V的一个基底。

v1,....,vm 2.设Sv1,....,vm是一个s维子空间，且s0,证明：必可从

中选出s个向量，使得它们

构成V的一个基底。证明：由s0,v1,....,vm中必有非零向量，取v1,....,vm的一个极大线性无关组u1,....uk，则v1,....,vm中每个向量均可由u1,....,uk线性表示。注意到Sv1,....,vma1v1....amvmai，于是

Sv1,....,vmu1,....uk，u,....uksu,....ukks维S维1，而u1,....,uk线性无关，从而维1，于是u1,....,us就满足条件。

u1,....,un 3.设线性无关，而v1,....,vmu1,....,unA。证明：子空间v1,....,vm的维数等于秩A。

证明：显然子空间元素的个数，设

v,....,vk秩Ak列秩A。不妨设A的前k个列线性无关，则1线性无关，它们

v1,....,vm的维数就是

v1,....,vm中每个极大线性无关组中也是v1,....,vm的一个极大

v,....,vmk线性无关组。不然秩Ak1。于是维1秩A。

4.设W是n维向量空间V的一个真子空间，证明：存在V的两个不同的子空间W1,W2，使得

VWW1WW2.v1,....vm

证明：设设为

是W的一个基底，1mn，此基底可扩充为V的基底，v1,....,vm,u1,....,unm，令W1u1,....,um，则VWW1。可以找到V中一个向量v，使得vWW1，（因为一个空间不能表成两个真子空间的并），显然向量组v1,....,vm,v和u1,....,unm,v都线性无关，把

v1,....,vm,v,v1,....,vnm1''v1,....,vm,v扩充成V的基底：

''W2v,v,....v1nm1，令，则VWW2，而W1W2,因为vW2,但vW1.5.证明：V的任意一个真子空间都是若干n1维子空间的交。

v1,....,vm 证明：设W是V的真子空间，v1,....,vm,u1,....,unm是W的基底，把它扩充成V的基底。设

2....uV2v1,....,vm,u1,unm，1,....uV1v1,....,vm,unm，nm....,Vnmv1,....,vm,u1,....,u，nmi..uv1,....,vm,u1,..unm其中

表示去掉

uiW后其余向量生成的空间。则

Vi1i。一方面显然在每个

nmnmiViW中，Vi1v。另一方面，若

Vi1i，由

v1,....,vm,u1,....,unm线性无关，有vW。

§7.4 有限维向量空间的线性变换

（一）1.设数域上的矩阵A,B相似，证明：对上任意多项式f(x)，矩阵f(A)与f(B)相似。

证明：设f(x)anx....a1xa0n是上的多项式，由A相似于B，则有

1可逆矩阵P，使得BPAP。

f(B)anB....a1Ba0Ian(PAPn1)....a1(PAPn1)a0PIP.1

anPAPn1....a1PAP1a0PIP1P(anA....a1Aa0I)P.n1

Pf(A)P即f(A)与f(B)相似。

1。

x12x1x2:x2x2x3xx1V33，求在基 2.在三维向量空间中，定义线性变换底

100u10,u21,u30,001

下对应的矩阵。

u1 解：

2100,u21,u31.100

于是

u1,u2,u3

201110021u1,u2,u3010110010，1002u10,u21,u30,0001下对应的矩阵为1在基底

110010。

3.设V是数域F上的向量空间,证明:dimV1时,V上的线性变换只有唯一的一种，即数乘变换。

证明：当dimV1时，V中任意非零向量v可构成V的基底，且V的任意向量都可表成av的形式，其中aF。设是V的任意一个线性变换，使得(v)v.则avV,(av)a(v)av(av),即

就是F中元素的数乘。

4.设是数域F上的n维向量空间V的一个线性变换，1和空间，并且有

VW1W2.V(W1)(W2).WW2是V的子证明：可逆的充要条件是

证明：必要性，假设可逆，由VW1W2.对vV,总有wV，w1W1,w2W2,使得

vw, 则有

且ww1w2.从而有

v(w)(w1)(w2)W1W2.uW1W2,VW1W2.若则有

w1W1,w2W2,使得

uw1w2,于是w1w2, 由可逆，W1W2,得w1w2，但于是

w1w2。从而u.于是V(W1)(W2).那么vV,有

w1W1,w2W2,充分性，设VW1W2W1W2,使得

vw1w2w1w2W1W2V,即是满射。由第三节习题8，知可逆

（V）k的充要条件是5.设是n维向量空间V的一个线性变换，证明：dimV中存在一个基底

(v1),....(vk)(vk1)....(vn)0v1，...vk,vk1....vn,使得线性无关,而.（V）k 证明: 必要性, 设dim,由dim(V)dim1()n,得dim1()nk.取1()的一个基底为vk1,....vn,把它扩充成V的基底v1,....vk,vk1....vn,则(v1),....(vk)必线性无关.不然,若有不全为0的a1,....akF,使得

a1(v1)....ak(vk),则

这表明a1v1....akvk1(a1v1....akvk),().从而

a1v1....akvk可由

vk1,....vn,线性表示,这与v1，...vk,vk1....vn,线性

无关矛盾, 于是

充分性, 若有V的基底(vk1)....(vn)0v1，...vk,vk1....vn,(v1),....v(k)线性无关.使得

(v1),....(vk)线性无关, 而, 则(v1),....(vk)必可以线性表示(V)中的任意元.任取(u)(V),由是基底,有 v1，...vk,vk1....vn,a1,....akF,使得 (u)a1(u1)....an(un)a1(u1)....an(uk).v(k)而且由v1，...vk线性无关,这种表法还是唯一的,从而(v1),....构成了(V)的一个基底,于是

dim（V）k.6.设S1,S2都是空间V的关于的不变子空间,则S1S2,S1S2亦然.证明: 设S1,S2都是空间V的关于的不变子空间,即(S1)S1,(S2)S2,则由

(S1S2)(S1)(S2)S1S2,(S1S2)(S1)(S2),知S1S2,S1S2也是V的关于的不变子空间.u1,u2 7.设是数域上向量空间V上的线性变换,特征值 证明u1u2分别是的属于不同1,2的特征向量, 必不是的特征向量.证明: 反证法,若u1u2是的属于特征值的特征向量,则由(u1u2)(u1u2),得

(u1)(u2)u1u2.而(u1)1u1,(u2)2u2,得

1u12u2u1u2,于是

由与 从而

00A00***0000,10u1u2(1)u1(2)u2.u1,u2分别是属于不同特征值的特征向量,它们线性无关,可得矛盾,12.这12必不是的特征向量.6.设求所有与A可交换的矩阵，证明它们在矩阵的加法和数乘法运算下构成

一向量空间，并求此空间的维数。

B5 解：设biji,j1可与A交换，由ABBA，可知B形如 bb12b3b4b50b1b2b3b400b1b2b3000b1b2 0000b1，其中bi。

显然这种形式的矩阵关于矩阵的加法和数乘法是封闭的，即它们构成一个向量空间V，此空间的维数=5，因为

100000100000100000010000010000010000v100100,v0010,v20300001,v40000001000001000000000000100000000000000000100000v50000000000 00000就构成V的一个基底。

100100,00007.设是向量空间V的一个线性变换，且。证明：11V(V)().其中(V)是V在之下的像，()是V在之下的核。

1 证明：(V)和u(V)11()都是V的子空间。首先有(V)()。因为若()，则有

vV22，使得u(v),且(u).由，可得(u)(v)u.另外，uV,uu(u)(u),1其中(u)(V),而u(u)1得V(V)().也就是

().因为

u(u)(u)(u).2所以V(V)1().8.证明：有限维向量空间V上的线性变换是单射的充要条件是是满射。

证明：必要性，假设是单射，考虑V的子空间的降链V(V)(V)....(V)....2n，由于(V)都是V的子空间，而V是有限维的，必有自然数m，使得当nm时，有

(V)mm1i

uV,m(V)....2m(V)....于是(u)m(V)2m(V),有

vV,使得

(u)m2m(v).于是

(u(v))(u)mmm2m(v).mmu(v)(由是单射，则也是单射，得到

m1(v))(V).即是满射。

充分性，假设是满射，考虑V的子空间升链1()()()....()()....，同样有自然 21n1数m，使得

m1m112m1()()(设u1)()....()()....，(),进而有u()()(mm12m)().1由是满射，则也是满射，m于是有vV,使得则有12mm(v)u.v(2m(v)(u).于是)()(1m)().1有(v)u.即

m()，从而是单射。

§7.5 对偶空间

1.如果S,T是V的子空间，则

(ST)ST.证明：设f(ST)，sS,tT,有f(st)0,特别的分别取s0,和t0,可得f(s)0,和f(t)0.从而fST。反之，若

fST,则sS,tT,有f(s)f(t)0,于是f(st)0,(ST)ST.即f(ST).从而 2.设V和W是上的有限维向量空间，是V到W的线性影射，则(W)t'1().

''t''1 证明：由定理，wW,vV,有(w),vw,(v).若v(v).则

(),则

t''' (w),vw,(v)w,0.(w)即(w)(v)0.从而t't'1().(W)由w的任意性，有

'

t'1().

3.若S是n维向量空间V的子空间，则维S+维S=n.证明：若维Sn,则显然。

mn,e1,....,eme1,....em,...,en.设维S是S的基底，把它扩充成V的基底

再取e1,....em,...,en.的对偶基

fi,eji,j'f1,....,fn,''则有，显然

fm1,....,fnS.fS,''设

f(ei)0,i1,....,m.fa1f1....anfn,ai.''

由得

fam1fm1....anfn.''

fm1,....,fn''

另外注意到



线性无关，它们构成S的一个基底，从而维Snm，于是有维S+维S=n.4.设是有限维向量空间V到W的线性映射，则的核等于像的正交集。

tW,VW.wW,vV,有(w),vw,(v)。证明：V''''t''若wker,'ww(V)0.(w)0,w,(v)0.V.反之，若即则即t''''twV.'t''wv0,(w),vw,(v)0,vV,即有则'即(w)(V)0,也即

t'(w)0,'从而wker.t' 5.设V,U,W'都是有限维向量空间，:VU,:UW,则().ttt 证明：wW,vV,()(w),vw,(v)(w),(v)(w),v.t''t'tt'

'由v的任意性，有()(w)(w),再由w的任意性，得().t'tt'ttt