合工大数字信号处理习题答案2和3章 朱军版_数字信号处理习题答案

合工大数字信号处理习题答案2和3章 朱军版由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数字信号处理习题答案”。

合工大《数字信号处理》习题答案

第2章

习

题

2.1用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。2.1x(n)(n4)2(n2)(n1)(n)(n1)

2(n2)4(n3)0.5(n4)2(n6)

2.2 请画出下列离散信号的波形。

1（1）u(n)

2（2）(2)nu(n)（3）2n1u(n1)（4）u(n1)u(n5)

答案略

2.3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）x(n)Acos(n（2）x(n)e2.3（1）1j(n)8n378)，A是常数。

2014，所以周期为14。3（2）2016，是无理数，所以x(n)是非周期的。

2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）y(n)x(nn0)（2）y(n)x(n)（3）y(n)x(n)sin(n)（4）y(n)ex(n)2

2.4（1）由于T[x(n)]x(nn0)T[x(nm)]x(nmn0)y(nm)

所以是时不变系统。

T[ax1(n)bx2(n)]ax1(nn0)bx2(nn0)ay1(n)by2(n)

所以是线性系统。

（2）T[x(nm)]x2(nm)y(nm)，所以是时不变系统。

T[ax1(n)bx2(n)][ax1(n)bx2(n)]2ay1(n)by2(n)，所以是非线性系统。

（3）T[x(nm)]x(nm)sin(n)y(nm)，所以不是时不变系统。

T[ax1(n)bx2(n)][ax1(n)bx2(n)]sin(n)ay1(n)by2(n)，所以是线性系统。

（4）T[ax1(n)bx2(n)]e系统。

[ax1(n)bx2(n)]eax1(n)ebx2(n)ay1(n)by2(n)，所以是非线性T[x(nm)]ex(nm)y(nm)，所以是时不变系统。

2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

（1）y(n)x(n)x(n1)（2）y(n)x(nn0)（3）y(n)e（4）y(n)2.5

（1）该系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后（(n1)时间）的输入有关。如果|x(n)|M，则|y(n)||x(n)||x(n1)|2M，因此系统是稳定系统。

（2）当n00时，系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关。当x(n)

nn0knn0x(k)

n00时，系统是因果系统。如果|x(n)|M，则|y(n)|M，因此系统是稳定系统。

（3）系统是因果系统，因为n时刻的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|M，则|y(n)||ex(n)|e|x(n)|eM，因此系统是稳定系统。

（4）系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和x(n)的未来值有关。如果|x(n)|M，则，|y(n)|nn0knn0|x(k)||2n01|M因此系统是稳定系统。

2.6 以下序列是系统的单位冲激响应h(n)，试说明该系统是否是因果、稳定的。（1）h(n)2nu(n)（2）h(n)2nu(n)（3）h(n)(n2)（4）h(n)1u(n)2n2.6（1）当n0时，h(n)0，所以系统是因果的。

由于

n|h(n)|202122

所以系统不稳定。

（2）当n0时，h(n)0，所以系统是非因果的。

由于

n|h(n)|2021222

所以系统稳定。

（3）当n0时，h(n)0，所以系统是非因果的。

由于

n|h(n)|1 所以系统稳定。

（4）当n0时，h(n)0，所以系统是因果的。

由于

n|h(n)|111 021222所以系统不稳定。

2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题2.7图所示，试求输出 y(n)。

2.7 y(n)h(n)x(n)[2(n)(n1)0.5(n2)]x(n)

2x(n)x(n1)0.5x(n2)2(n2)(n1)0.5(n)2(n1)(n2)4.5(n3)2(n4)(n5)2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。

（1）h(n)R3(n)，x(n)R3(n)

（2）h(n)R4(n)，x(n)(n)(n2)（3）h(n)0.5u(n)，x(n)R5(n)2.8（1）y(n)x(n)h(n)R3(n)R3(n)n[(n)(n1)(n2)]R3(n)R3(n)R3(n1)R3(n2)[(n)(n1)(n2)][(n1)(n2)(n3)][(n2)(n3)(n4)](n)2(n1)3(n2)2(n3)(n4)（2）y(n)x(n)h(n)[(n)(n2)]R4(n)

R4(n)R4(n2)[(n)(n1)(n2)(n3)][(n2)(n3)(n4)(n5)](n)(n1)(n4)(n5)（3）y(n)x(n)h(n)0.5nu(n)R5(n)

0.5nu(n)[(n)(n1)(n2)(n3)(n4)]0.5u(n)0.5（1）Sa(100t)（2）Sa(100t)

（3）Sa(100t)Sa(50t)2nn1u(n1)0.5n2u(n2)0.5n3u(n3)0.5n4u(n4)

2.9 确定下列信号的最低采样率与奈奎斯特采样间隔。2.9 若要确定奈奎斯特采样间隔，必须先求出信号频谱的最高频率。

（1）抽样函数对应于门函数：G(t)ESa(/2)，其中为门函数的宽度。由傅立叶变换的对称性知：

ESa(t/2)2G()

由题可知，200。因此，此信号的最高频率是100弧度/秒。因此，2fs1002 即，fs100，Ts100

（2）信号为两个抽样函数的乘积，因此频谱应为两个抽样函数频谱的卷积。由卷积积分的结果来确定信号频谱的范围。

通过上一题目可知，Sa(100t)信号的最高频率为100弧度/秒，因此相卷积后的最高频率是200弧度/秒。

fs200100，Ts200

（3）由傅立叶变换的线性，总信号的频谱为两个信号频谱的叠加，然后确定最高频率。

fs，Ts100

2.10 设系统由下面差分方程描述：

y(n)11y(n1)x(n)x(n1)22设系统是因果的，（1）求该系统的单位脉冲响应。（2）利用卷积和求输入x(n)ejnu(n)的响应。

2.10（1）x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n

所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1

h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1

h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1 所以

h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)（2）y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* ejwnu(n)= [0.5n-1u(n-1)]* ejwnu(n)+ ejwnu(n)= [ejwn-0.5n]/(ejw-0.5)u(n-1)+ ejwnu(n)2.11有一理想抽样系统，抽样频率为s6，经理想低通滤波器Ha(j)还原，其中

1,Ha(j)20,||3||3

今有两个输入，xa1(t)cos2t，xa2(t)cos5t。输出信号ya1(t)、ya2(t)有无失真？为什么？

2.11 根据奈奎斯特定理：

6，所以ya1(t)无失真。26因为xa2(t)cos5t，而频谱中最高角频率a25，所以ya2(t)失真。

22.12 有一连续信号xa(t)cos(2ft)，式中f20Hz，

2因为xa1(t)cos2t，而频谱中最高角频率a12(1)求出xa(t)的周期；

ˆa(t)的表达式。(2)用采样间隔T0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号x2.12（1）Ta10.05s fˆa(t)xa(t)T(t)（2）xnxa(nT)(tnT)ncos(2fnT)(tnT)

 ncos(40nT)(tnT)

第3章

习

题

3.1 求下列序列的z变换，并标明收敛域。

（1）x(n)(n4)

1（2）x(n)u(n)

21（3）x(n)u(n1)

2（4）x(n)nn1，n1 nn（5）x(n)0.5u(n1)（6）x(n)n0.2u(n)

n答案： 3.1 解（1）由z变换的定义可知，X(z)n(n4)znnz4，z0

n1111nn（2）X(z)u(n)zz，|z|

12n2n021z1211n（3）X(z)u(n1)zzn

2nn12nn

2nznn111，|z| 121z12（4）X(z)1nz nn1dX(z)11n1由于，|z|1 (n)z(zn1)2dzzzn1nn1则X(z)lnzln(1z)ln而X(z)的收敛域和

z 1zdX(z)的收敛域相同，所以X(z)的收敛域为|z|1。X(z)nn1（5）由于x(n)0.5u(n1)0.5所以X(z)0.5z1u(n1)0.5

z0.5，|z|0.5

z0.5z0.5（6）利用z由于X1(z)dX1(z)ZT[nx1(n)] dzz

z0.2所以X(z)zdX1(z)z(z0.2)0.2z，|z|0.2 z22dz(z0.2)(z0.2)3z13.2 已知X(z)，分别求：

25z12z2（1）收敛域为0.5|z|2对应的原序列x(n)；（2）收敛域|z|2对应的原序列x(n)。

3z13z3.2 X(z)12225z2z2z5z2nzz12z z21（1）x(n)u(n)2nu(n1)

21（2）x(n)[2n]u(n)

23.3 已知序列x(n)的傅立叶变换为X(ej)，试求下列序列的傅立叶变换。（1）x1(n)x(nn0)（2）x2(n)x(n)（3）x3(n)x(n)nx(n)x(n)（4）x4(n)

2（5）x5(n)(n1)2x(n)3.3（1）X1(ej)ejn0X(ej)

（2）X2(ej)X(ej)（3）X3(ej)X(ej)（4）由于DTFT[x(n)]=X(ejwj)

X(ej)X(ej)X4(e)Re[X(ej)]

2（5）因为X(e)jnx(n)ejn，所以

dX(ej)x(n)(jn)ejn dn即

dX(ej)DTFT[nx(n)]j

d同理

d2X(ej)DTFT[nx(n)] 2d2而

x5(n)(n1)2x(n)n2x(n)2nx(n)x(n)

d2X(ej)dX(ej)jX5(e)2jX(e)2ddj3.4 设题3.4图所示的序列x(n)的傅立叶变换用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列运算：（1）X(ej0)（2）X(ej)d

（3）X(ej)（4）|X(ej)|2d

题3.4图（西电，丁玉美，P64，题5图）

3.4（1）X(e)j0nx(n)ej0nnx(n)6

（2）X(ej)ejnd2x(n)X(ej)d2x(0)4

j（3）X(e)nx(n)e2jnnx(n)(1)2n112112112

（4）|X(e)|d2jn|x(n)|28

3.5用留数定理法分别求以下X(z)的z反变换： 11z12（1）X(z)，|z|；

121z241112z1（2）X(z)，|z|，141z1411z123.5（1）X(z) 12111z1z42111n1|z|，设为内的逆时针方向的闭合曲线。x(n)zdzcc122j1z1211当n0时，zn1zn

111z1z221在c内有z一个单极点，则

2111x(n)Res[zn,]()nu(n)

122z21又由于x(n)是因果序列，故n0时，x(n)0。所以

1x(n)()nu(n)

2（2）x(n)11n1|z|X(z)zdz，设为内的逆时针方向的闭合曲线。cc42jn1当n0时，X(z)z在c外有一个单极点z1，则 411x(n)Res[X(z)zn1,]7()n

44n1当n0时，X(z)z在c内有一个单极点z0，则

x(n)Res[X(z)zn1,0]8

n1当n0，X(z)z在c内有没有极点，则

x(n)0

综上所述，x(n)8(n)7()u(n1)

14n3.6 试求如下序列的傅立叶变换：（1）x(n)(n3)

（2）x(n)anu(n)，0a

1（3）x(n)eanu(n)

（4）x(n)eanu(n)cos(0n)3.6（1）X(ej)ej311az1X(ej)

1aej1j（3）X(e) aj1ee（2）由于X(z)1ejeacos0（4）X(e) ja2j2a12eecos0eej3.7 已知下列因果序列x(n)的z变换为X(z)，求该序列的初值x(0)和终值x()。

1z1z2（1）X(z) 11(1z)(12z)z1（2）X(z)

(10.5z1)(10.5z1)3.7(1)x(0)limX(z)1

z由于极点有一个在单位圆外，所以终值不存在。(2)x(0)limX(z)0

zx()lim(z1)X(z)0

z13.8 用卷积定理求下列卷积和。（1）y(n)5u(n)(n2)（2）y(n)5u(n)u(n1)3.8由y(n)x(n)h(n)可知Y(z)X(z)H(z)nn（1）Y(z)zz2 z5y(n)5n2u(n2)

（2）Y(z)zz5zz1z()z

z5z1z5z14y(n)5n115u(n1)u(n1)44

3.9 用z变换法解下列差分方程：

（1）y(n)0.9y(n1)0.05u(n)，y(n)0，n1（2）y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)(n)，y(1)0.2，y(2)0.5，y(n)0，n3

3.9（1）Y(z)0.9Y(z)z10.051 11z0.050.05z2Y(z)11(10.9z)(1z)(z0.9)(z1)

z0.9z0.5()z1z0.9y(n)0.5u(n)0.45(0.9)nu(n)

（2）Y(z)0.8z[Y(z)y(1)z]0.15z[Y(z)y(1)zy(2)z]1 1221.0850.03z1Y(z)

10.8z10.15z2F(z)Y(z)z当n0时，n11.0850.03z11.085z0.03nn1zz 12(z0.5)(z0.3)10.8z0.15zy(n)Res[F(z),0.3]Res[F(z),0.5]1.47750.3n0.256250.5n3.10 线性时不变因果系统用下面差分方程描述：

0.29550.51250.3n0.5n 0.20.2y(n)2ry(n1)cosr2y(n2)x(n)

式中x(n)au(n)，试求系统的响应。n3.10 已知x(n)anu(n)，则

y(n)2ry(n1)cosr2y(n2)anu(n)

将上式进行z变换，得

Y(z)2rY(z)z1cosr2Y(z)z2因此，1az11z3 Y(z)1221(12rzcosrz)(1az)(za)(zz1)(zz2)式中，z1rej，z2rej。

由于系统是因果的（h(n)是因果序列），且x(n)也是因果序列，所以y(n)是因果序列。因

r,a)，且n0时，y(n)0。此，Y(z)的收敛域为：|z|max(y(n)1Y(z)zn1dz，c包含3个极点：a，z1，z2。2jcF(z)Y(z)zn1zn2 (za)(zz2)(zz2)y(n)Res[F(z),a]Res[F(z),z1]Res[F(z),z2]

zn2(za)|za(za)(zz1)(zz2)zn2(zz1)|zz1(za)(zz1)(zz2)zn2(zz2)|zz2(za)(zz1)(zz2)z1z2an2(az1)(az2)(z1a)(z1z2)(z2a)(z2z1)(reja)(rej)n2(reja)(rej)n22jrsinan22jrsin(reja)(reja)3.11 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列，求证：

12n2n2

X1(ej)X2(ej)d[12X1(ej)d][12X2(ej)d]

式中，X1(ej)和X2(ej)分别表示x1(n)和x2(n)的傅立叶变换。3.11 令Y(ejw)X1(ejw)X2(ejw)，则

y(n)x1(n)x2(n)

1又x(n)2X(ejw)ejwn1dw，可知x(0)2X(ejw)dw

y(0)[x1(n)x2(n)]|n0mx(m)x12(nm)|n0mx(m)x12(m)

由于x1(n)，x2(n)都是因果序列，所以上式中的m只能为0值，因此

y(0)x1(0)x2(0)1所以

21X1(e)X2(e)dw[2jwjw1X1(e)dw][2jwX2(ejw)dw]

3.12 研究一个满足下列差分方程的线性时不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零、极点图，试求系统单位冲激响应的三种可能选择方案。

y(n1)5y(n)y(n1)x(n)23.12 H(z)=z/(z2-2.5z+1)=2/3[z/(z-2)-z/(z-0.5)]

(1)|z|>2,h(n)= 2/3[2n-0.5n]u(n)系统是非稳定但是因果的。

（2）|z|

(3)0.5

（2）已知一离散系统的单位冲激响应为h(n)[0.50.4]u(n)，写出该系统的差分方程。

nnn3.13（1）H(z)Y(z)X(z)2(zz)z1z0.522z11

zz0.5z0.5z1激励为x(n)0.5u(n)的零状态响应： nY(z)H(z)X(z)1zz

z0.5z0.5(z0.5)2y(n)2n(0.5)nu(n)

（2）h(n)[0.50.4]u(n)nnY(z)zz0.1z0.1z1 H(z)212X(z)z0.5z0.4z0.9z0.210.9z0.2zy(n)0.1x(n1)0.9y(n1)0.2y(n2)

3.14 已知线性因果系统用下面差分方程描述：

y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)

（1）求系统函数H(z)及单位冲激响应h(n)；

（2）写出传输函数H(ej)表达式，并定性画出其幅频特性曲线；（3）设x(n)ej0n，求输出y(n)。

10.9z13.14（1）H(z) 110.9z10.9z11.8z1H(z)1

10.9z110.9z1y(n)(n)1.80.9n1u(n1)

10.9ej（2）H(e) j10.9ej极点z0.9，零点z0.9

（3）x(n)ej0n

j0ny(n)ej0nH(ej0)e10.9ej0 j010.9e3.15 若序列h(n)是因果序列，其傅立叶变换的实部如下式： HR(ej)1acos，|a|1

1a22acos求序列h(n)及其傅立叶变换H(ej)。3.15

1acos10.5a(ejej)HR(e)1a22acos1a2a(ejej)j10.5a(zz1)10.5a(zz1)HR(z)2111aa(zz)(1az)(1az)IZT[HR(z)]he(n)

F(z)HR(z)zn10.5az2z0.5an1z 1a(za)(za)1因为h(n)是因果序列，所以he(n)必定是双边序列，收敛域取：a|z|a。

n1时，c内有极点a，0.5az2z0.5an11nhe(n)Res[F(z),a]z(za)|a za2a(za)(za1)n0时，c内有极点a，0

F(z)HR(z)zn10.5az2z0.5a1z 1a(za)(za)0.5az2z0.5a1he(n)Res[F(z),a]Res[F(z),0]z(za)|zaa(za)(za1)0.5azz0.5a1z(z0)|z011a(za)(za)he(n)he(n)，所以 2

又因为

n01,he(n)0.5an,n00.5an,n0

he(n),h(n)2he(n),0,n01,an,n00,n0anu(n)H(ej)n0n0n0j1ae