两条直线平行与垂直_两条直线平行与垂直

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两条直线平行与垂直

2010-5-1

4教学目标：

知识与技能：通过本节课的学习掌握用代数的方法判定两直线平行或垂直的方法。

过程与方法：利用两条直线平行，倾斜角相等这一性质，推出两条直线平行的判定方法，即l1∥l2k1k2 又利用两条直线垂直时，倾斜角的关系“12900和几何画板进行验证得到两条直线垂直的判定方法，即l1l2k1.k21并且对特殊情况进行研究。情感、态度与价值观：通过本节课的学习，可以增强我们用“联系”的观点看问题，进一步增强代数与几何的联系，培养学好数学的信心。

教学重难点：

重点：揭示“两条直线平行（垂直）”与“斜率”之间的关系难点：“两条直线平行（垂直）”与“斜率”之间关系的探究 教学过程：

一、引入

我们在初中已经学习了同一平面内两条直线的位置关系并且学习两条直线平行（垂直）的判定方法，为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入了直线倾斜角与斜率的概念，并导出了计算斜率的公式，即把几何问题转化为代数问题。那么，我们能否通过直线l1,l2的斜率k1、k2来判断两条直线的位置关系呢？我们约定：若没有特别说明，说“两条直线l1与 l2”时，一般是指两条不重合的直线。

二、两条直线平行的探究

1．两直线平行的充要条件的推导

设直线l1和l2是有斜率的两条直线，方程分别为l1：yk1xb1，y l2：yk2xb2，l

1l21 2x O

若l1//l2，则b1b2，且它们的倾斜角相等（如图），即12，∴tan1tan2∴k1k2，若b1b2且k1k2，则tan1tan2，∵01180，0021800，∴12，∴l1//l2．

归纳：当直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb

2时，直线l1//l2的充要条件是k1k2且b1b2；直线l1和l2重合的充要条件是k1k2且b1b2．2．设直线l1和l2有方程l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，（1）当B10，B20时，则k1

b2

C2B2

A1B1，k2

A2B2，b1

C1B1，∵l1//l2的充要条件是k1k2且b1b2，∴

A1B1

=

A2B2

且

C1B1



C2B2，即

A1A2



B1B2



C1C2

A2B2C20（有时

用于判断比较方便），即A1B2A2B10且B1C2B2C1．

（2）当B10，B20时，满足A1B2A2B10，此时，l1：x

l2：x

C2A2

C1A1，C1A1

∴l1//l2的充要条件是



C2A2，即A1C2A2C1．

归纳：当直线l1和l2有方程l1：A1xB1yC10，l2：

A2xB2yC20时，直线l1//l2的充要条件是A1B2A2B10且B1C2B2C1或A1B2A2B10且A1C2A2C1．

直线l1和l2重合的充要条件是：A1B2A2B10且B1C2B2C1；

或A1B2A2B10且A1C2A2C1

三、两条直线垂直的探究 观察图：

探究1：这两条直线的倾斜角有什么关系？能够得到什么结论？12900l1l2k1.k2

1注：上面的结论永远成立吗？

一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零时，上面结论不成立

垂直归纳结论：

（1）已知直线l1和l2的斜率分别是k1和k2，且均不为0，则l1l2k1k21；

（2）已知直线l1和l2的斜率中有一个为0，则l1l2另一个的斜率不存在；

（3）已知直线l1和l2的方程分别为：l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20

则l1l2A1A2B1B20．

四、典例练讲例1．（1）过点（1，-4）且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。

（2）求过点（2，1）且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程。分析：求出斜率，利用点斜式代入即可。

一般情形： 平行直线系：

1、与直线ykxb平行的直线系：ykxb1b1b

与直线AxByC0平行的直线系：AxByC10C1C

2、与直线ykxbk0垂直的直线系：y

1kxm

与直线AxByC0垂直的直线系：BxAym0 例2．已知直线l1:mxy(m1)0与直线l2:xmy2m0。（1）当m为何值时，两直线平行？（2）当m为何值时，两直线

重合？

变题：已知两直线l1：x+m2y+6=0，l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.

分析： 对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”.当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0l1∥l2，

当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-1m

x-

6m，l2：

y=2m

3m

x

23，①当-

②当



③当



≠2m即m≠-1，m≠3时，l1与l2相交.

3m

m

1m6m1m6m

222



2m3m23，即m=-1时l1∥l2.





2m3m23，即m=3时，l1与l2重合.



综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当

m=-1或m=0时，l1∥l2，③当m=3时，l1与l2重合.

题后反思 判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论.

例3．如图在路边安装路灯，路宽MN长为23米，灯杆AB长2.5米,且与

灯柱BM成120角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线AC与灯杆AB垂直,当灯柱

BM高为多少米时, 灯罩轴线AC正好通过道路路面的中线?(精确到0.01米)

分析：见课本81页。

小结：1:两条直线平行与垂直的判定条件

运用如何判断两条直线的位置关系和四边形或三角形的形状

教学流程及板书设计：