暨南大学线性代数测试题_线性代数暨南大学

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线性代数测试练习题

一、选择与填空（每题2分，共40分）

a111、若行列式Da21a12a22a32a134a112a113a122a213a222a313a32a13a23。a33a31a231，则H4a21a334a31（A）-12

（B）12

（C）-24

（D）242、n级排列p1p2pn的逆序数与顺序数分别为p与q，则pq。

2x1x2x30

3、齐次线性方程组x1kx2x30有非零解，则。

kxxx0123（A）k4（B）k1（C）k1且k4（D）k1或k4

10421

14、四阶行列式D06024102，Aij是相应的代数余子式，则2A41A42A432A44 02kk5、A、B、C是n阶矩阵，则下列结论错误的是：（A）IA2(IA)(IA)（B）(AB)kAB

22（C）如果AB，则AB或AB（D）ABTTAB

OA

6、A、B为n阶可逆矩阵，则BOO（A）1BOA1（B）1OAOB1（A）1OAA1B1（D）OOO 1B

17、A为n阶矩阵，且r(A)n1，则r(A*)=

（A）1 或n1（B）0 或n1（C）1或0

（D）以上都不对。

8、A、B为3阶可逆矩阵，且A2，B3。则2(AB)。

9、已知向量(1,1,0)被向量组1(1,0,1)，2(0,1,0)，3(0,0,1)线性表出，则相应的表出系数是

（A）1，1，1（B）1，1，1（C）1，1，1（D）1，1，110、A是mn矩阵，r(A)r(0rn)，则下列结论不正确的是：（A）Ax0的任何一个基础解系都含nr个线性无关解向量；（B）X是ns矩阵，且AX0，则r(X)nr；

T1（C）是m维列向量，r(A,)r，则可被A的列向量组线性表示；（D）非齐次线性方程组Axb比有无穷多组解；

11、已知mn齐次方程组Ax0，且r(A)r，1,2,,nr是方程组的nr个

线性无关解向量，则Ax0的基础解系为（A）1,2,,nr,12nr

（B）1，21，32，…，nrnr1，nr（C）12，23，…，nr1nr，nr1（D）1,2,,nr,12nr,12、A为n阶矩阵，下列结论中不正确的是：

（A）A可逆的充分必要条件是r(A)n；

（B）A可逆的充分必要条件是A的列秩为n；

（C）A可逆的充分必要条件是当x0时，Ax0；

（D）A可逆的充分必要条件是A的每一行都是非零向量。

13、设=2是矩阵A的特征值，则矩阵

12A的特征值是：。3（A）4343（B）（C）（D） 3434100

14、与矩阵A010相似的矩阵是 002110110101101（A）021（B）010（C）010（D）021 001002002002001

15、矩阵Ax10可对角化，则x。

100123

16、矩阵A1x2，B与A相似，且1、2、3是其特征值，则x。

001

17、A为n阶实对称矩阵，则

（A）A的n个特征向量两两正交；（B）A的n个特征向量是单位正交向量组；（C）是A的k重特征值，则r(IA)nk；（D）是A的k重特征值，则r(IA)k；

12x1

18、二次型f(x1,x2)(x1,x2)x的系数矩阵是。

432

19、设A、B是n阶的合同矩阵，则。

（A）A与B相似（B）AB

（C）A与B有相同的特征值（D）r(A)r(B)20、n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是

（A）二次型xTAx的负惯性指数为0；（B）有矩阵C使得ACTC（C）A没有负特征值（D）A与单位矩阵合同

二、计算解答题（每题10分，共50分）

1x111111y121、求实数x、y的值，使得0。

11x111111y01011

22、A111，B20，且AXBB，求X。10153x1x2x33

23、设线性方程组x1x2x32。讨论当取何值时，方程组有解和无解？

xxx2123并当有无穷多组解时，用导出组的基础解系与特解写出通解公式。

24、求向量1(1,2,1,5)，2(2,1,1,1)，3(4,3,1,11)的一组极大无关组，并用它表示其余的向量。

25、求正交变换xQy化二次型f(x1,x2,x3)3x1+3x34x1x2+8x1x3+4x2x3为标准型。并指出二次型的正、负惯性指数，和规范型。

三、证明题（每题5分）

26、证明：正定矩阵的伴随矩阵也是正定矩阵。

27、A是mn矩阵，证明：方程组Ax0与AAx0是同解方程组。

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