空间向量及其计算_空间向量计算

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§9.5 空间向量及其运算

（二）教学目标：

㈠知识目标：⒈共线或平行向量的概念；

⒉共线向量定理及其推论；

⒊空间直线的向量参数方程、线段中点的向量公式．

㈡能力目标：⒈了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；

⒉理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程和线段中点的向量公式；

⒊会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

㈢德育目标：认识平面与空间之间的关系，了解将空间问题转化为平面问题的思想，初步了解向量工具在立体几何中的应用，从而丰富思维结构，提高运用数学的能力．

教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．

教学难点：对空间直线的向量参数方程及线段中点的向量公式的理解与运用． 教学方法：讲授法．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］上节课，我们学习了空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律．通过学习我们知道，事实上空间向量的许多内容就是平面向量相关内容的推广．

在第五章《平面向量》一章，我们还学习了有关平面向量的其它知识，比如说我们在研究两个向量之间的关系时，除了定义了相等的向量，还专门对平行向量或共线向量进行了研究，请同学们回顾一下怎样的向量称为平行向量或共线向量呢？

［生］方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

［师］怎样判定向量b与非零向量a是否为共线向量呢？

［生］向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.［师］这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a的非零要求． 对这个定理的证明要从两个方面进行：

⑴充分性：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知，a与b共线．

⑵必要性：若向量a与b共线，a≠0时，设｜b｜:｜a｜＝μ，则当a与b方向相同时，b＝μa；当a与b方向相反时，b＝－μa．所以，有且只有一个实数λ，使b＝λa.［师］这节课我们将要对空间的共线向量以及共面向量加以研究．下面同学们先阅读课本P28～P29前5行．

Ⅱ.新课讲授

［师］怎样的空间向量叫做共线向量呢？

［生］与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．

［师］和上节我们学习的空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及

空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推广一样，空间向量共线（平行）的定义也是平面向量相关知识的推广．

当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

关于空间共线向量有什么结论呢？

［生］关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：

空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.推论：

如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

ta．

其中向量a叫做直线l的方向向量.[师]由于空间中任意两个向量都是共面的，所以上述定理和推论仍然是平面向量有关定理的推广，因此它们的证明只是需要先确定一个平面，转化为平面向量问题即可．（例如定理必要性的证明）

推论证明如下：

∵ l//a

∴ 对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得ta．(*)

又∵ 对于空间任意一点O，有APOPOA，∴ OPOAtaOPOAta． ①

若在l上取a，则有t．(**)

又∵∴t()(1t)t．②当t11时，OP(OAOB)．③ 2

2［师］⑴表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．

⑶推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．

Ⅲ.课堂练习

《基础训练》

Ⅳ.课时小结

空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，都是平面向量相关知识的推广．

Ⅴ.课后作业

预习课本P29～P30，预习提纲：

⒈什么叫做平面向量基本定理？

⒉怎样的向量叫做共面向量？为什么说空间任意两个向量都是共面的？空间中任意三个向量也是共面的吗？

⒊怎样证明共面向量定理？平面向量表示是有什么作用？