向量在高中阶段解题的巧用由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“巧用平面向量解题”。
向量在高中阶段解题的应用
(一)向量对圆锥曲线的应用.圆锥曲线是高考重点考查的内容。考查的内容包括圆锥曲线的概
念和性质。但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时也要结合向量的知识来简便解题。
例1：证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距
离的等比中项。
证明：设P（x₀，y₀）是等轴双曲线x²-y²=a²右支上任一点
∴x₀²-y₀²=a²
则||²=x₀²+y₀²=x₀²+x₀²-a²=2x₀²-a² | PF1|²=x₀+a,| PF2|=2x₀-a
∴|PF1|·|PF2|=(2x₀+a)(2x₀-a)=2x₀²-a² ∴|PO|²=|PF1|·|PF2|
同理,当P(x₀,y₀)是左支点上也成立.(二)向量对立体几何题的应用.由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，认为这很
抽象，但只要掌握好向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换
成向量,那解题便简便得多了.例1：如图,在正方体ABCD--A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、分别是AB，B B₁，BC的中点。
证明：B D₁⊥平面EFG。
分析：应通过建立空间坐标系，通过
空间向量的坐标运算来证明。
证明：设正方体的棱长为2a并以D为原点，DA为X轴，DC为Y轴，DD₁为Z轴，建立空间直角坐标系，则
D₁（0，0，2a），B（2a，2a，0），F（2a，2a，a），E（2a，a，0），G（a，2a，0）
∴BD1=（-2a，-2a，2a），=（0，a，a），=（-a，-a，0），=-2a·∴BD1·0-2a· a+2a·a=0 BD1⊥
BD1·（-a）+（-2a）·（-a）+2a·0=0 BD1⊥ =-2a·
∴B D₁⊥平面EFG
点评：此题运用了空间向量的坐标运算来证明。
（三）向量在平面解析几何图形的应用
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以用向量方法解决平面几何中的一些问题，现在由我们共同探讨向量方法在平面几何中的应用。
例1：在边长为1的正方形ABCD中，设=, =, =,求|-+|
解：如图，作DC的延长线，截MC=CD=1，连结BM.又∵=, =, =
∴|a-b+c|=|AB-AD+AC|=|DB+AC|
又∵=BM
∴|-+|=||=
2点评：本题利用了向量加减法的几何意义计算线段的长度，把复习的平面几何图形简单化，可见其简便之处。
（四）向量在证明不等式中的应用
例1：设а≠b，а>0，b>0，求证：
（a+b）（a+ b）>（a+ b）
证明：构造向量 =(a, b), =(a,b),则：
332222cos2θ EF)=| AB|·（a+ b）=(AB·|EF|·224422332
≤||·||=(a+ b)·（a+ b）
∵a>0,b>0,a≠b
∴θ≠0
∴cosθ≠
1∴(a+ b)·（a+ b）>（a+ b）
点评:在解不等式或证明时,除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法,而本题就是运用向量解题的简便方法.（五）向量在证明平行题的应用
例1:已知AC、BD是梯形ABCD的对角线。E、F分别为BD、AC4422332222442
2的中点。
求证：EF∥BC
证明：设=, = ∵AD∥BC ∴=k=k 则=-=b-a
∵E为BD的中点 ∴=½=½(-)
∵F为AC的中点 ∴=+=+½=+½(-)=½(+)=½(-)=½(k-)∴EF=BF-BE=½(kb-a)-½(b-a)=(½k-½)b=[(½k-½)·1/k] BC ∴∥,即EF∥BC
点评：这类题应掌握好向量的三角形定则，认识向量平行的充要条件。
（六）向量在三角函数的应用。
例1:在直角坐标系X0Y中,已知P(2 cosа+1,2 cosа+2)和点Q(cosа,－1),其中а[0,
解:由于OP⊥OQ = cosа（2cosа+1）-（2cosа+2）=0——① ∴·].且OP⊥OQ,求X的值。
又∵cos 2а=2cosа-1————————②
由①和②，得2cosа-cosа=0 cosа=0或0.5 2
∵а[0,]
∴а=/2或/
3点评：本题利用向量的知识解答，使过程简便许多。
（七）向量在解物理题的应用。
例1：平面上有两个向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有动点P从P₀(-1,2)开始沿着向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|；另一动点Q从Q₀(-2,-1)出发，沿与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度的大小为|3e1+2e2|，设P、Q在时刻t=0秒时，分别在P₀、Q₀处，则当PQ⊥P₀Q₀时，时
间t为多少秒？
解：依题意P₀(-1,2),Q₀(-2,-1)则POQO=(-2,-1)-(-1,2)=(-1,-3)
e1+e2=(-1,0)+(0,1)=(1,1)|e1+e2|=2 3e1+2e2=3×(1,0)+2×(0,1)=(3,2)|3e1+2e2|=
∴当t时刻P点位置为（-1，2）+t（1，1）=（-1+t，2+t），点Q位置为（-2，1）+t（3，2）=（-2+3t，-1+2t）∴=(-2+3t,-1+2t)－(-1+t,2+t)=(-1+2t,-3+t)又⊥POQO
∴(-1+2t)·(-1)+(-3+t)·(-3)=0解得t=2 ∴当⊥POQO时，时间t为2秒。
