法向量的求法和其应用_法向量求法及应用方法

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平面法向量的求法及其应用

引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。

一、平面的法向量





1、定义：如果a

，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法



方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n(x,y,1)[或n(x,1,z)，或n(1,y,z)]，在平



面内任找两个不共线的向量a,b。由n，得na0且nb0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。

方法二：任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。



AxByCzD0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量n(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示,则平面方程为:为一般式即可求出它的法向量。

xa



yb



zc

1,称此方程为平面的截距式方程，把它化

方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长度等于|a||b|sin，（θ



为,两者交角，且0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由

的方向转为

的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向,abba。







x1z1x1y1y1z

1,,设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:ab

yx2z2x2y22z2

（注：

1、二阶行列式:M





ac

bd

adcb；

2、适合右手定则。）例

1、已知，a(2,1,0),b(1,2,1)，







试求（1）：ab;（2）：ba.







Key:(1)ab(1,2,5);(2)ba(1,2,5)

例

2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，

key求平面AEF的一个法向量n。:法向量nAFAE(1,2,2)

二、平面法向量的应用

1、求空间角



(1)、求线面角：如图2-1，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，A，则AB与平面 所成的角为：





图2-1-1:







n,AB







|cosn,AB|



图2-1-2:n,AB





arccos



(2)、求面面角:设向量m，n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：









图2-

3m,narccos

mn





（图2-2）;



|m||n|







m,narccos

mn





(图2-3)



|m||n|

两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，m的方向对平面而





言向外，n的方向对平面而言向内；在图2-3中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。

2、求空间距离

（1）、异面直线之间距离:





方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量a、b，

求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；



②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；



③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为





d

|ABn|

,其中na,nb,Aa,Bb

|n|

（2）、点到平面的距离:

方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n，则点P到





n

平面α的距离公式为d

|ABn|



|n|

（3）、直线与平面间的距离:

方法指导：如图2-6,直线a与平面之间的距离：

ABn，其中dA,Ba。n

是平面的法向量 |n|

（4）、平面与平面间的距离:

方法指导：如图2-7,两平行平面,之间的距离：





d

|ABn|

，其中A,B。n

是平面、的|n|

3、证明





（1）、证明线面垂直：在图2-8中,m向是平面的法向量，a是





直线

a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ma）。





（2）、证明线面平行：在图2-9中,m向是平面的法向量，a是直线a



的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ma0）。





（3）、证明面面垂直：在图2-10中，m是平面的法向量，n是平面



的法向量，证明两平面的法向量垂直（mn0）





（4）、证明面面平行：在图2-11中, m向是平面的法向量，n是平





面的法向量，证明两平面的法向量共线（mn）。

三、高考真题新解

1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=1

2AB=1，M是PB（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.

(I).AP(0,0,1)，AD(1,0,0)，设平面PAD的法向量为mAPAD(0,1,0)











又DC(0,1,0)，DP(1,0,1)，设平面PCD的法向量为nDCDP(1,0,1)







mn0，mn，即平面PAD平面PCD。







(II).AC(1,1,0)，PB(0,2,1)，AC,PBarccos

ACPB





arccos

AC||PB|

|





(III).CM(1,0,1



2)，CA(1,1,0)，设平在AMC的法向量为mCMCA(11

2,2,1).







又CB(1,1,0),设平面PCD的法向量为nCMCB(

12,

12,1).







m,narccos

mn





arccos(

2|m||n|).面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos(2

3).[或arccos23

]

2、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。

图

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系3-

2D-xyz如图所示.









(I).BC(2a,0,0),BA1(0,a,a),设平面A1BC的法向量为nBCBA1(0,2a2,2a2)



又AD(2a,0,0),nAD0,ADn,即AD//平面A1BC.

(II).MC（



a,0,a),MA1(



a,a,0),设平面A1MC的法向量为: mMCMA1(a,

a,

a),又BD1(2a,a,a),BA1(0,a,a),设平面A1BD1的法向量为: nBD1BA1(0,2a2,2a2),







mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.(III).设点A到平面A1MC的距离为d,





mMCMA1(a,

a,

a)是平面A1MC的法向量,



又MA（22

a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:d

|mMA|





a.|m|

四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”

(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）