3.1.2共线向量与共面向量_02共线向量与共面向量

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3.1.2共线向量与共面向量

一、内容与解析

(一）内容：空间向量及其运算（2）

（二）解析：本节课要学的内容()指的是(),其核心(或关键)是(),理解它关键就是要().学生已经(),本节课的内容()就是在此基础上的发展.由于它还与()有()的联系,所以在本学科有()的地位,并有()作用,是本学科的核心内容(或一般内容,次要内容).教学的重点是(共线、共面定理及其应用．),解决重点的关键是()

二、教学目标及解析

(一)教学目标:

1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

(二)解析:

(1)就是指

三、问题诊断分析

在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是(),产生这一问题的原因是().要解决这一问题,就是要(),其中关键是().四、教学支持条件分析

在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().五、教学过程

（一）复习：A

则这些向OA上，且如图，空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc,点M在OM=2MA，点N为BC的中点，则MN

（二）新课讲解： 1．共线（平行）向量： 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．/

42．共线向量定理：



对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．

推论：如果l为经过已知点A,且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O,点P在

直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式OPOAta①，

其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，

则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②

1

1当t时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)③

2l

P

B

Aa

①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中

O

点公式．

3．向量与平面平行：



已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或



//． 在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a



a 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的．

问题：我们知道，空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个向量共面呢？ 探究



1.对空间任意两个不共线的向量a,b，如果pxayb，那么向量p与向量a,b

有什么位置关系？反过来，向量p与向量a,b有什么关系时，pxayb？

4．共面向量定理：



p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实如果两个向量a,b不共线，

数对（x,y），使pxayb．

探究2.空间中的四点P、M、A、B共线的充要条件是什么？/

4推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①

上面①式叫做平面MAB的向量表达式．

（三）例题分析：

例

122

1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OPOAOBOC，55

5试判断：点P与A,B,C是否一定共面？



解：由题意：5OPOA2OB2OC，∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，所以，点P与A,B,C共面．

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对

照形式将已知条件进行转化运算．



【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？



解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，

∴APyABzAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知





ABCD，从平面AC外一点O引向量OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC//平面EG．



解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，

∵EGOGOE，kOCkOAk(OCOA)kACk(ABAD)

k(OB

OAODOA)OFOEOHOE EFEH

∴E,F,G,H共面；/ 4

E

（2）∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，∴EF//AB,EG//AC

所以，平面AC//平面EG．

五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．

六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．

七、作业：



1．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，求证：A,B,C,D共面．



2．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值。

3．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中点，F

D

1A1

E

HB1

GC1

求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG． 4．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．

DA

B

C

EH D

B

六、课堂目标检测

七、课堂小结及作业布置/ 4