平面向量_平面向量的

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平面向量

一、知识梳理：

（1）本章要点梳理：

1.向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，1

特别注意：(ABAC)表示△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适

2用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），||表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、（或）.2.理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。与非零向量同向的单位向量a0，叫做的单位向量。而a0都与共线（与反向的单位向量为-a0.3.两向量所成的角指的是两向量方向所成的角;两向量数量积||||cos,；其中|b|cosa,b可视为向量在向量上的投影.4.向量运算中特别注意a|a|的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.另外，有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，有些题目就可以由作图得解.5.向量的坐标运算是高考中的热点内容，向量的坐标形式实质上是其分解形式xy的“简记”.其中i,j分别表示与x轴、y轴正方向同向的单位向量.6.利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是[0,].特别注意：0不能等同于,所成角是锐角，因为当,同向时也满足0;同样的道理，0不能等同于,所成角是钝角，因为当a,b反向时也满足0

［例］l是过抛物线y22px(p0)焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与P值有关.22

y22pxpp分析：由直线l过焦点F(,0)，设其方程为xmy，联立得：，即：p22xmy2

y1y2p2=.则y2pmyp0，则y1y2p，又x1x22p2p4222223p

2OAOBx1x2y1y20，则AOB一定是钝角.选C.47.直线l的向量参数方程式：A、P、B三点共线 则OP(1t)OAtOB

8.关注向量运算与三角函数综合是高考中的常见题型.［例］已知向量a{2cosx,1},b{cosx,3sin2x},xR.设f(x)ab.（1）若f(x)13且x[,]，求x的值；（2）若函数y2sin2x的图像按向量3

3c{m,n}(|m|

2)平移后得到函数yf(x)的图像，求实数m,n的值.2解析：（1）f(x)2cosx3sin2xcos2x13sin2x2sin(2x

6)1，易得x

4.（2）函数y2sin(2x

6)1是由函数y2sin2x的图像向左平移，再把1

2所得图像向上平移1个单位而得，所以m

二、易错、易混、易忘点梳理： 12,n1.【易错点1】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用，易产生概念性错误。

例1.下列命题：①()2()2||4 ②()() ③ |²|=||²||④若∥b,b∥c,则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使 ⑥若，且≠，则⑦设e1,e2是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x、y，使xe1ye2成立。⑧若|+|=|－|则²=0。⑨²=0，则=或=。其中真命题的个数为（）

A．1B．2C．3D．3个以上 2解析：①正确。根据向量模的计算aaa判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义(ac)b表示和向量b共线的向量，同理(ab)c表示和向量c共线的向量，显然向量b和向量c不一定是共线向量，故(ab)c(ac)b不一定成立。③错误。应为abab④错误。注意零向量和任意向量平行,非零向量的平行性才具有传递性。⑤错误。应加条件“非零向量a”。⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量e1,e2是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故²=0。⑨错误。只需两向量垂

直即可。答案：B 【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ²ｂ＝ｂ²ａ(交换律)②（λａ）²ｂ＝λ（ａ²ｂ）＝ａ²（λｂ）(数乘结合律)③(ａ＋ｂ)²с＝ａ²с＋ｂ²с(分配律)说明：（1）一般地，(ａ²ｂ)с≠ａ（ｂ²с）（2）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ²с＋ａ²ｄ＋ｂ²с＋ｂ²ｄ，(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ²ｂ＋ｂ

【练习】设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a²b）c－（c²a）b=0②|a|－|b|

【易错点2】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。

例2.四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ²ｂ＝ｂ²с＝с²ｄ＝ｄ²ａ，试问四边形ABCD是什么图形?

【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。

解：四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)＝（с＋ｄ）即｜ａ｜＋２ａ²ｂ＋｜ｂ｜＝｜с｜＋２с²ｄ＋｜ｄ｜由于ａ²ｂ＝с²ｄ，∴｜ａ｜＋｜ｂ｜＝｜с｜＋｜ｄ｜①同理有｜ａ｜＋｜ｄ｜＝｜с｜＋｜ｂ｜②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD２２２２２22２2２２２２２２２２２２２２

形ABCD是平行四边形.另一方面，由ａ²ｂ＝ｂ²с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ²(2ａ)＝０即ａ²ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。综上所述，四边形ABCD是矩形.【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（｜a｜+｜b｜）=｜a－b｜+｜222a+b｜2（2）向量形式的三角形不等式：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜(试问：取等号的条件是什么?)等有用的结论。

【练习】（1）点O是ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的（）

（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点

（C）三条中线的交点（D）三条高的交点

（2）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，则实数m =

答案：（1）D（2）m=

1【易错点3】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。例3.已知ABC中,a5,b8,c7,求BCCA.(答案:-20)

【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如

0,1800,180直线的倾斜角的取值范围是，两向量的夹角的范围是，注意向量的夹角是

否为三角形内角。

【易错点4】向量数积性质的应用。

例4.已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。

解析：本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。答案： 60。

【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂａ²ｂ＝０③ａ²ａ＝｜ａ｜或｜ａ｜＝aaa④ｃｏｓθ＝２2ab ab

⑤｜ａ²ｂ｜≤｜ａ｜²｜ｂ｜

5【练习】（1）已知向量a(1,2),b(2,45,若(ab)c,则a与c的夹角为（）

2C．120°D．150°答案：C（注意b2a）（2已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则（）(A)a⊥e(B)a⊥(a－e)(C)e⊥(a－e)(D)(a＋e)⊥(a－e)答案：C A．30°B．60°

【易错点5】向量与三角函数求值、运算的交汇 例

5、a(1cos,sin),b(1cos,sin),c(1,0),(0,),(,2)，a与c的夹

角为θ1，b与c的夹角为θ2，且12,求sin的值.32【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。

解析：a(2cos,2sincos)2cos(cos,sin),b(2sin2,2sincos)22222222222sin

2(sin

2,cos

2)(0,),(,2),(0,),(,),故有2222

22cosac2cos,,|a|2cos|b|2sincos112222|a||c|2cos

22sin2

bc2sin,0,因cos22222222|b||c|2sin

2112,，从而sinsin.22226262

【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。

【易错点6】向量与解三角形的交汇

→→→→例6.ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC=0。

→→→→→→①求数量积，OA²OB，OB²OC，OC²OA ；②求ΔABC的面积。

→→→【思维分析】第1由题意可知3OA、4OB、5OC三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一

向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。

→→→→→→→→→→→2解析：①∵|OA|=|OB|=|OC|=1由3OA＋4OB＋5OC=0 得：3OA＋4OB=－5OC两边平方得：9OA＋

→→→2→2→→→→→→→4→→→24OA²OB＋16OB=25OC∴OA²OB=0同理：由4OB＋5OC=－3OA求得OB²OC=－ 由3OA＋5OC=－4OB

5→→3求得OA²OC=－5

1→→1443→→→→②由OA²OB=0,故s0AB= |OA||OB|= 由OB²OC=－ 得cos∠BOC=－∴sin∠BOC=－ ∴22555

1→→33341→→→由OC²OA=－ 得cos∠COA=－ ∴sin∠COA= ∴s0AC= |OCs0BC= |OB||OC|sin∠BOC=，210555

221326→||OA|sin∠COA= 即sABC=s0AB＋s0AC＋s0BC= ＋ ＋ =521055

【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。