高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)_立体几何基础知识点

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立体几何知识点整理

姓名：

一．直线和平面的三种位置关系： 1.线面平行

l

符号表示：

2.线面相交

符号表示：

3.线在面内

符号表示：

二．平行关系： 1.线线平行：

方法一：用线面平行实现。l//

l

l//m m

方法二：用面面平行实现。

//

l

l//m

m

方法三：用线面垂直实现。若l,m，则l//m。方法四：用向量方法：

若向量和向量共线且l、m不重合，则l//m。

2.线面平行：

方法一：用线线平行实现。

l

l//m

m

m

l// l

方法二：用面面平行实现。

//

l

l// 方法三：用平面法向量实现。

若n为平面的一个法向量，nl且l,则

l//。

3.面面平行：

方法一：用线线平行实现。

l//l'



m//m'

l,m且相交//

l',m'且相交

方法二：用线面平行实现。

l//



m//

//l,m且相交

三．垂直关系：1.线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

lAC

lAB

ACABAl



AC,AB

方法二：用面面垂直实现。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：





ml 22

2clm,l

2.面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

l

l



方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：

方法一：用线面垂直实现。

l

m

lm

方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO

lOA

lPA l

方法三：用向量方法：

若向量和向量的数量积为0，则lm。三．夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1)范围：(0,90](2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

cosabc

2ab

b

(计算结果可能是其补角)

方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：

cos

(二)线面角

(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO

于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。

(2)范围：[0,90]

当0时，l或l// 当90时，l(3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。

方法二：向量法(为平面的一个法向量)。

sincos,



(三)二面角及其平面角

(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。

四．距离问题。1．点面距。方法一：几何法。

步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤

2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)方法二：坐标法。

(2)范围：[0,180](3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。

dcos



2．线面距、面面距均可转化为点面距。3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。

如图，m和n为两条异面直线，n且

m//，则异面直线m和n之间的距离可转化为直

线m与平面之间的距离。

方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。



nn

2步骤一：计算cosn1n2

1n1n2



步骤二：判断与n1n2的关系，可能相等或

者互补。

如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，m//m'，则异面直线m和n之间的距离为：

d

c2a2b22abcos

五．空间向量(一)空间向量基本定理

若向量，为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量，都存在唯一的有序实数对

角分别为、、，则cos2+cos2+cos



x、y、z，使得xyz。

(二)三点共线，四点共面问题 1.A，B，C三点共线

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、，则cos2+cos2+cos2 3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二)正在底面中心。

(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且

每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)

(五)棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

(六)体积：V棱柱 V棱锥(七)球

1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2.设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。

3.球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

4.球的表面积公式：体积公式：



OAxOByOC，且xy

1当xy时，A是线段BC的2A，B，C三点共线 2.A，B，C，D四点共面



OAxOByOCzOD，且xyz1

当xyz时，A是△ABC的3A，B，C，D四点共面xy(三)空间向量的坐标运算

1.已知空间中A、B两点的坐标分别为：

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)则：



AB;dA,BAB



2.若空间中的向量a(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)

则abab

abcosab

六．常见几何体的特征及运算(一)长方体

1.长方体的对角线相等且互相平分。

2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的