【新课教学过程(二)】3.1.2共面向量定理Z_教学过程的理论基础

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3．1．2共面向量定理（教学过程2）

一、教学目标：

知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理；

利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．

过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件,并能灵活运用．

情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理

性思维的力量．

二、教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理．

三、教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．

四、教学过程

课前准备:

复习、关于空间向量线性运算的理解

（1）

C（2）



思考

1、如图（1），MN可以由哪些向量相加得到？图（2）中呢？

平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可

以用其它向量线性表示．

从平面到空间，类比是常用的推理方法．

思考

2、的向

量称为平行向量或共线向量呢？ 思考

3、怎样判定向量b与非零向量a是否为共线向量呢？．思考4：对于空间任意一点O，试问满足xy（其中x+y=1）的三点P，A，B,三点是否共线？

思考

5、这个结论能解决什么问题？．

新课导学：

师生共同活动



思考

1、如图：在长方体中，向量a、b、p与面ABCD有怎样的位置关系？

思考

2、观察下图你能给出共面向量的定义吗？

共面向量的定义：说明：

⑴共面向量与共线向量的定义对象不同，但形式相同．

⑵向量a与平面α平行是用a所在直线 l与α平行或在α内来定义的，因此// 与直线a//α既有联系也有区别．

思考

3、在平面向量中，向量与向量(≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得b=λa,那么空间任意一个向量与两个不共线向量,共面时,它们之间有什么样的关系?．

共线向量基本定理:． 证明：

先证必要性∵向量p与向量a、b共面，∴表示它们的有向线段可位在同一平面内，于是根据平面向量的基本定理，一定存在实数对(x,y)，使xy．再证充分性

xa、yb分别与 内。a、b共线，xa、yb都在a、b确定的平面

xy是以|x|、|y|为邻边的平行四边形的一条对角线表示的向量，并且此平行四边形在∴xy在即向量与向量确定的平面内，确定的平面内，共

面．

说明：当向量、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、所在直线共面的充要条件，但用于判断时，还需证明其中一直线上有一点在另两条直线确定的平面内．

五、数学应用

例

1、如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相交于AD，点M，N分别在对角

线BD，AE上，且BM=

2BD，AN=AE．求证：MN∥平面CDE． 3

3A

F

B

C

试试：课本P76练习

1N

D

E



探究:对于空间任意一点O,试问满足向量关系OPxOAyOB（其中x+y=1）的三点P、A、B是否共线?

类比3:设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系

xyz（其中x+y+z=1）

试问：P、A、B、C四点是否共面？

分析：要判断P、A、B、C四点是否共面，可考察三个共起点的向量AP,AB,是否共面． 解：由x+y+z=1(不妨设x≠0),可得x=1-y-z,则



OPxOAyOBzOC(1yz)OAyOBzOC



OAy(OBOA)z(OCOA)

所以OPOAyABzAC，即yz

由 A,B,C三点不共线，可知AB与AC不共线，所以AP,AB,AC共面且具有公共起点A.从而P,A,B,C四点共面． 思考：①为什么要不妨设x≠0？

②反过来成立吗？

设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若P、A、B、C四点共面，且点P满足向量关系xyz，则x+y+z=1一定成立吗？



③如果将x+y+z=1整体代入，由(xyz)OPxOAyOBzOC出发，你能得

到什么结论？

试试：已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，

OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD,求证：

⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG∥平面AC．

证明：⑴∵四边形ABCD为平行四边形，∴,

A

H

B

G

kOCkOAkACk(ADAB)k(ODOAOBOA)

F

OHOEOFOEEFEH

∴四点E、F、G、H共面

⑵kkk,又由⑴证明知k，又∵k≠1，即点E不在平面AC上，即E不在直线AB、AC上，∴EF∥AB，EG∥AC，∴平面EG∥平面AC

课堂达标：

122

1、已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OPOAOBOC，55

5试判断：点P与A,B,C是否一定共面？



2．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，求证：A,B,C,D共面．



3．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y值．

4．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中点，求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．

F

D

1E

HB1

GC1

答案： 课堂达标

A1

D

B

C

11A

1．P、A、B、C四点共面；2．由ABACAD得A、B、C、D四点共面；

53．x13,y8；4．证明略

5．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．

六、课堂小结：

1、共面向量的概念及向量共面的充要条件

2、从中学到了什么？

七、作业布置

八、教学反思

E D

B