吉林大学级本科《离散数学II》试题(A)答案_离散数学期末试题答案

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一、简答题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

(1)

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(10)是；是。(a b)=(1 2)、(c d)=(1 2)或(a b)=(1 3)、(c d)=(2 3)或(a b)=(2 3)、(c d)=(1 3)。一定；不一定。不成立。有；0或6。不一定；不一定。是；不是 是；不是。是；是。不一定。

二、计算题【本大题共4小题，每小题5分，共20分】

1、H={I,(1 2),(3 4),(1 2)(3 4)}；{(1 3),(1 2 3),(1 3 4),(1 2 3 4)};

{(1 4),(1 2 4),(1 4 3),(1 2 4 3)};{(2 3),(1 3 2),(2 3 4),(1 3 4 2)};

{(2 4),(1 4 2),(2 4 3),(1 4 3 2)};{(1 3)(2 4),(1 4)(2 3),(1 4 2 3),(1 3 2 4)}

2、1的周期是1，逆元是1；5的周期是2，逆元是5；7的周期是2，逆元是7；11的周期是2，逆元是11；真子群的个数是4。

3、商式：3x4+3x3+2x2+x+6；余式：4。

4、N2=2R={0,2,4,6,8,10,12,14,16}；N3=3R={0, 3, 6, 9,12, 15}；

R/ N2={N2, 1+N2}；R/ N3={N3, 1+N3, 2+N3}

三、【10分】

证明：对任意a, bR，已知半群(R , )中的每个元素都是等幂元，所以有(a+b)(a+b)=(a+b)。由分配律知(aa)+(ab)+(ba)+(bb)=(a+b)。而aa=a, bb=b，于是由加法交换律和结合律有(a+b)+((ab)+(ba))=(a+b)，在等式两边同时加上(a+b)的负元-(a+b)，则(ab)+(ba)=0，其中0是加法单位元。因此，在群(R , +)中ab和ba互为逆元，即有ab=-ba。因为半群(R , )中的每个元素都是等幂元，所以有ab=(ab)(ab)=(-ba)(-ba)=(ba)(ba)= ba。即，满足交换律，(R, +, )是交换环。

四、证明：(1)因为ab，cd, 所以(ac)(bd)=acbd=(ab)(cd)=ac，故acbd。又(ac)(bd)=acbd=(ab)(cd)=bd，故acbd。

(2)设x, y为S中任意两个元素，由于axb，ayb，由(1)知，a=aaxybb=b，a=aaxybb=b，即xyS，xyS，这说明中的二元运算关于S是封闭的，故是的子格。所以与等价的是与等价的的子格

五、(1)证明：如果它可约必为一次式与四次及以下因式乘积或二次式与三次及以下因式乘积的形吉林大学计算机科学与技术学院

1式。（a）在R2上x53x27是x5+x2+1，而f(0)=f(1)=10，所以它在R2上无一次质因式；（b）在R2上的二次质因式只有x2+x+1，而x5+x2+1=x2（x+1）(x2+x+1)+1，所以它在R2上也无二次质因式，因此它在R2上不可约，从而在R0上不可约。

(2)证明：取质数p=2，因为2不整除a0=1，但2| a1=2，2| a2=10，22=4不整除a2=10，由E定则知f(x)在R0上不可约。

六、(1)由于9=32，所以p=3, m=2。(1)首先求8xx41。(2)求8x在R3[x]中的2次质式(x)。

x4+1=(x2-x-1)(x2+x-1)=(x2+2x+2)(x2+x+2)=(2x2+x+1)(2x2+2x+1)=(-x2+x+1)(-x2-x+1)。无论取哪个质因式，所构造出的9元有限域都是同构的，所以不妨取(x)= x2+x-1。(3)若取=x，则GF(9)={a0+a1| a0, a1R3}={0, 1,-1, , 1-,-1-,-1+, 1+}

七、证明：因为(Z4, 4)和(Z5, 5)都是群，所以由定理6.5.1知，如果是(Z4 ,4)到(Z5 ,5)的同态映射，则同态像(Z4)是(Z5 ,5)的子群。(Z5 ,5)的元素个数为5是质数，所以其只有两个平凡子群，一个是({0} ,5)，另一个是(Z5 ,5)本身。如果令是Z4到Z5的函数，且(k)=0(kZ4)。容易验证，是(Z4 ,4)到(Z5 ,5)的同态映射，且的同态像就是(Z5 ,5)的平凡子群({0} ,5)。显然，不存在同态映射，使得的同态像(Z4)是Z5。由此可见，群(Z4 ,4)到(Z5 ,5)仅有一种同态映射。