初中数学一题多解、归纳证“垂直”的方法学法指导学法指导_初中数学学法指导小结

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创新作品（一题多解）A4荀子琪

通过对以下这道题的多种证法，可以归纳总结出证“垂直”的多种方法，提高了我的论证能力，形成多方面探索思考的良好习惯。

证明如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

已知：如图1，在△ABC中，AD=BD=CD．

求证：△ABC是直角三角形．

证法1如图1，利用两锐角互余．

∵AD=CD，CD=BD，∴∠1=∠A，∠2=∠B。

在△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，∴2（∠A+∠B）=180°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法2如图2，利用等腰三角形的三线合一．

延长AC到E使CE=AC，连接BE．

∵AD=BD，∴CD是△ABE的中位线．

121∵CDAB，2 ∴CDBE。∴AB=BE．

∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．

证法3如图3，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）．

过点D作DE⊥BC交BC于点E．

∴CD=BD，1

BEBD1∴，BCAB2 ∴BEBC，∵∠B是公共角，∴△BDE∽△BAC。

∴∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法4如图4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条．

取BC中点E，连接DE．

∵AD=BD，∴DE是△ABC的中位线．

∴DE∥AC．

∵CD=BD，CE=BE，∴DE⊥BC．

∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．

证法5如图5，构造四边形，并证其为矩形．

延长CD到E使DE=CD，连接AE、BE．

∵AD=BD=CD．

∴AD=BD=CD=DE,且AB=CE．

∴四边形ABCD是矩形．

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．

证法6如图6，利用勾股定理的逆定理．

设AC=b，BC=a，AB=c，取BC中点E，连接DE．

∴DE是△ABC的中位线． ∴DEACb。

∵CD=BD，∴DE⊥BC。

在Rt△DEB中，∵DE2BE2BD2，111∴bac。222222121

2∴a2b2c2，∴△ABC是直角三角形。

证法7如图7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。

延长CD到E使DE=CD，连接BE。

∵AD=BD，∠1=∠2，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴∠ACD=∠E，AC=BE，∴AC∥BE，∴∠ACB+∠EBC=180°。

又∵AD=CD，∴AB=CE。

∵BC是公共边，∴△ACB≌△EBC（SSS）。

∴∠ACB=∠EBC。

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法8如图8，利用直径所对的圆周角是直角。

以D为圆心，DA长为半径作圆。

∵AD=BD=CD，∴点C、B在圆上，AB是直径。

∴∠ACB=90°。

∴△ABC是直角三角形。

另外，原命题本身就蕴含着一种证明垂直的方法，至此，可得出九种证“垂直”的方法。