平面几何中常见结论的向量证法_平面几何的向量证法

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平面几何中常见结论的向量证法

例1.证明直径所对的圆周角是直角.如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点.求证∠ACB=90°.证明：设AOa,OCb,由已知得|a|=|b|, 则ACBC(ab)(ab)ab0, ∴AC⊥BC,即 ∠ACB=900.22B

例2.（任意三角形中的射影定理）：在三角形ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，求证：b=a·cosC+c·cosA①

c=a·cosB+b·cosA② a

a=c·cosB+b·cosC③ A

证明：如图：设，，.则 , (),, ||||cosA||||cosC||2,||cosA||cosC||, b=a·cosC+c·cosA.①

类似地可得c=a·cosB+b·cosA.②a=c·cosB+b·cosC.③

说明：此问题的证明方法较多，比喻可用正弦定理，也可以用余弦定理，还可以用直角三角 形中三角函数的定义来证明.例3.(直角三角形中的射影定理)：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证：AC2=AD·AB①BC2=BD·AB ②证明：∵ -,(1).（2）22图2 图3又∵∠ACB=90°，CD⊥AB  0,0,2∴ 由（1）,（2）得：(-)()()-=BCAC-|BA||AD|cos|BA||AD|.即：AC2=AD·AB.①类似地可得: BC2=BD·AB.②

想一想①：用向量方法证明勾股定理.例4.已知PT是圆O的切线，PAB是圆的割线，求证：PT2=PA·PB.（圆幂定理）证明：设圆O的半径为R，P是平面上任意一点，过P引射线交圆O于A、B，为上的单位向量，

1,2分别表示

B、的长度，则 1，2.1 P 图4 O

设M是PB上的一动点，||为x，则x.∵ 点M在圆O上的充要条件是R2 , 即(x)2R2.∴ x22(OPe)x|OP|2R20.(1)

当点M与A重合时，得到的长度1是方程（1）的根，当点M与B重合时，得到P的长度也2是方程（1）的根.由一元二次方程根与系数的关系知：12||2—R2.当P在圆外时，过P引切线PT（T为切点）,则由勾股定理易得：PT2||2—R2 ∴ PT212PAPB.说明：换一个角度看：如果A与B重合，PA即切线，此时PA2也应等于||2—R2，从而得到圆幂定理；随即由勾股定理之逆便可得到：过切点的半径垂直于切线这一结论.想一想②：你能否用例4证明相交弦及垂径定理.例5.设P、Q、R分别是三角形ABC三边（异于顶点）上的点，若AR=xRB,BP=yPC,CQ=zQA,求证:AP、BQ、CR三线共点的充要条件是：xyz=1.证明:1°必要性:设AP、BQ、CR交于点G,∵ A、G、P三点共线，∴ (1-)(1-) 又∵B、G、Q三点共线,

1y

(0＜α＜1).B

P

图

5C

z

∴ CG(1-)CBCQ(1-)CBCA（0＜β＜1）.1z

另外可令:

rr()r(

=

11)r(())1x1x

xrxr

CACB.1x1x

rxr, 且1

1z1x1y1x

y1,z1,xr11,111r

1

由平面向量基本定理知：1

z

由关于x的两个等式r(r2)0,r2,x1 xyz=1.1

2°充分性:设xyz=1 ,设AP与BQ交于G,连CG并延长交AB于R1, 又设AR1=x1R1B.由必要性知x1yz=1,  x=x1 , R与R1重合.∴AP、BQ、CR三线共点.由1°、2°知命题成立.想一想③：由例5的结论，你能否给出三角形的三中线、三内角的平分线都是交于一点的.例6.在锐角三角形P1P2P3内找一点P，使P1P+P2P+P2P的长度最短.解：设在锐角三角形P1P2P3内有一点P使得：∠P1P P2=∠P3P P2=∠P3P P1=1200.令：iii,i是单位向量,i是i的长度（i=1，2，3）易知1230，又设Q是任意一点，P3

2图6

|QPi||QPPPi||QPii||i||QPii|≥i(QPii)，三式相加得：|QP1||QP2||QP3|(123)112233=123=|P1P|+|P2P|+|P2P|.由此可知点P是使P1P+P2P+P2P的长度最短的点.为了找到这样的点P，可在三角形P1P2P3外分别以P1P2与P2P3为边作两个正三角形P1P2A，P2P3B，再分别作正三角形P1P2A，P2P3B的外接圆，两圆除P2外的另一个交点即为所求的点P，这是因为∠P1P P2=∠P3P P2=120°.【练习】 F

1.证明三角形ABC三边的中垂线交于一点.2.如图：以AB、AC为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，D

M是BC的中点，求证：AM⊥EF.图7 【参考答案】

想一想①：设∠ACB=90.由()22因为 ∠ACB=90.所以 0.则可得 a+b=c.22

22222

想一想②:当P在圆内时，由例4的结论知：12R2|OP|2易得相交弦定理；

当P是弦AB的中点时，12=PA2(或PB2)也易得结论成立.想一想③:对于三中线易知x=y=z=1;对于三内角平分线,可利用内角平分线的性质得到

x.y.z=1.【练习】

1.证明：如图：设边BC、AC的中垂线交于点O，则 OA=OB=OC，以OA、OB为邻边作平行四边形 OAFB，由向量加法的平行四边形法则知OFOAOB.图8

又∵ ||||，∴四边形OAFB是菱形，则OF垂直平分AB.即边AB的中垂线也过点O.∴三角形ABC三边的中垂线交于一点.2.证明：∵ 1()()=1()

22=1()1[-||||cos(900BAC)||||cos(900BAC)]

=0 ,∴AM⊥EF.