北京重点中学专题—解三角形专项题型及高考题_解三角形专题题型归纳

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正余弦定理的专项题型

题型1：利用正余弦定理判断三角形形状

两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

例1.在中，a,b,c 分别表示三个内角A,B,C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状．

例2.在△ABC中，已知atanBbtanA，试判断此三角形的形状。

【同类型强化】1.在ABC中,若acosAbcosB,试判断ABC的形状

【同类型强化】2.若ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则ABC（）

A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

【同类型强化】3．△ABC中，2sinAcosB=sinC，则此三角形的形状是（）

(A)等腰△(B)等腰或者直角△(C)等腰直角△(D)直角△

题型2：利用正余弦定理求三角形的面积

三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中．

例3．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足

求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．22(1)

例4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足

3sin A－cos A＝0，cos B＝，b＝23.5(1)求sin C的值；(2)求△ABC的面积．

例5.在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝(1)求sin A的值；(2)设AC＝

【同类型强化】1.在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c

tanAtanBtanAtanB

1.3，求△ABC的面积．

7，且

23△

ABCab的值．

【同类型强化】2.在锐角三角形中，边a、b是方

程x220的两根，角A、B满足

2sin

AB0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．

【同类型强化】3.（本小题满分12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且

a2csinA(Ⅰ)确定角C的大小（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为

32,求a＋b的值。

【同类型强化】4.（本题满分14分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足

Acos，ABAC3．（I）求ABC的面积；（II）若bc6，求a的值．

5【同类型强化】5.（本小题共13分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B

，（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.cosA,b5

题型3：与三角函数结合的综合问题

三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中——解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的基础． 例6.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝

sin(B－A)＝cos C.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.【同类型强化】已知函数f(x)＝2sin xcos2＋cos xsin －sin x(0＜＜π)在x＝π处取最小值．(1)

求的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a＝1，b＝

求角C.，f(A)＝，2解三角形

cosA-2cosC2c-a

=

cosBb． 1.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinC

1（I）求sinA的值；II）若cosB=4，b=2，ABC的面积S。

2.在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c

sin(A

（1）若



6)2cosA,cosA,b3c求A的值；（2）若，求sinC的值.a1.b2.cosC.3.设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知

（Ⅰ）求ABC的周长（Ⅱ）求

4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．

cosAC的值



（Ⅰ）求角C的大小；

（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A-C=90°，b，求C．

6.（陕西理18）叙述并证明余弦定理。

2acbsinAsinCpsinBpR,ABCA.B.C47.在中，角所对的边分别为a,b,c．已知且．（Ⅰ）

5p,b

14当时，求a,c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围；

（ab）c24，且C=60°，则ab的值为A．

31.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足

B

．8C． 1D．3

2.在ABC中．sinAsinBsinCsinBsinC．则A的取值范围是

A．（0，6]

B．[ 6，）C．（0，3]

D．[ 3，）

3.

ABC中，B60,AC，则AB+2BC的最大值为_________．

4.如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。

B



5.在ABC中。若b=5，4，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。