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九点圆
三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆.九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。
证明
如右图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC
边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/
2为位似比作位似变换。
连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关
于BC的对称点D'。
显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以
∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C
四点共圆。
又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边
形BL'CH为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。
综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。
接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。
位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V的半径是⊙O的一半。
这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。
历史
九点圆是几何学史上的一个著名问题。最早提出九点圆的是英国的培亚敏·俾几（Benjamin Beven），问题发表在1804年的一本英国杂志上。第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列（1788-1867）也有说是
1820-1821年间由法国数学家热而工（1771-1859）与彭赛列首先发表的。一位高中教师费尔巴哈（1800-1834）也曾研究了九点圆，他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里，文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质（如下列的性质3）故有人称九点圆为费尔巴哈圆。
性质
九点圆具有许多有趣的性质，例如：
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；
2.九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；4.九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。
5.九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。
九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。
设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
那么重心坐标为：((2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c)。
西姆松定理
西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
西姆松定理说明
相关的结果有：
（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点
P
对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明
证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线.反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和
M、P、L、C分别四点共圆，有
∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。
因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有
∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.故L、M、N三点共线。
相关性质的证明
连AH延长线交圆于G,连PG交西姆松线与R,BC于Q
如图连其他相关线段
AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠
2A.G.C.P共圆==>∠2=∠
3PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠
4==>∠1=∠4
PF⊥BC
==>PR=RQBH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6A.B.G.C共圆==>∠6=∠7==>∠5=∠7AG⊥BC==>BC垂直平分GH==>∠8=∠2=∠4∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10==>HQ//DF==>PM=MH第二个问，平分点在九点圆上，如图：设O,G,H 分别为三角形ABC的外心，重心和垂心。
则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心，而G还是它的重心。那么三角形XYZ的外心 O1，也在同一直线上，并且
HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中点。
三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上，并且两圆半径比为1:2
所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的“反”位似中心(相似点在位似中心的两边),H 是“正”位似中心(相似点在位似中心的同一边)...所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上....欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于
同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线
上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外
心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法
1作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB，DC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC
∴ DA‖CH，DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点，O是BD的中点
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG’/MG’=AH/MO=2/
1∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合∴ O、G、H三点在同一条直线上
如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.欧拉线的证法
2设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心
。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD，又因为O为外心，所以OD⊥BC。
连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以
AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G
为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得
∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:
1又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。
欧拉线的证法
3利用向量证明，简单明了
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，则向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+向量DC=向量OA+向量DO+向量OC=向量OA+向量OB+向量OC，向量OG=向量OA+向量AG=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）=1/3（向量OA+向量OB+向量OC），3*向量OG=向量OH，所以O、G、H三点共线且OG=1/3OH。
