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管理运筹学
——管理科学方法 谢家平
第一章
第一章
1.建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待
定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2.（1）设立决策变量；
（2）确定极值化的单一线性目标函数；
（3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量；
（4）非负约束。
3.（1）唯一最优解：只有一个最优点
（2）多重最优解：无穷多个最优解
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大
（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集
无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
4.线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变 量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
5.可行解：满足约束条件AX =b,X≥0 的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
6.计算步骤：
第一步，确定初始基可行解。
第二步，最优性检验与解的判别。
第三步，进行基变换。
第四步，进行函数迭代。
判断方式：
唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj
无穷多最优解：若所有非基变量的检验数 σj≤ 0，且存在某个非基变量 xNk 的检验数 σk= 0，让其进基，目标函数的值仍然保持原值。如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同时达到最优，为无穷多最优解。
无界解：若某个非基变量 xNk 的检验数 σk> 0，但其对应的系数列向量 Pk' 中，每一个元素 aik'(i=1,2,3,…,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。
无可行解：当引入人工变量，最末单纯型发表中的基变量含有非零的人工变量，即人工变量不能全出基，则无可行解。
7.单纯形法需要有一个单位矩阵作为初始基。当约束条件都是“≤”时，加入松弛变量就形成了初始基，但实际问题中往 往出现“≥”或“＝”型的约束，这就没有现成的单位矩阵。需要采用人造基的办法，无单位列向量的等式中加入人工变量，从而得到一个初始基。人工变量只有取 0 时，原来的约束条件才是它本来的意义。为保证人工变量取值为 0，令其价值 系数为-M（M 为无限大的正数，这是一个惩罚项）。如果人工变量不为零，则目标函数就不能实现最优，因此必须将其
逐步从基变量中替换出。对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取 M。
8.9.10.（1）C1
（2）C1=0，C20（3）C1> 0，d>0，a2>0，d/4>3/a
2（4）C2>0，a1≤ 0
（5）x1为人工变量，且 C1为包含 M 的大于 0 数，d/4>3/a2；或者 x 数，a1>0，d>0。11.为人工变量，且 C 2 为包含 M 的大于 0
12.设 xij为电站向某城市分配的电量，建立模型如下：
13.设 x1 为产品 A 的产量，x2 为产品 B 的产量，x3 为副产品 C 的销售量，x4 为副产品 C的销毁量，问题模型如下：
第二章
1.（2）甲生产 20 件，乙生产 60 件，材料和设备 C 充分利用，设备 D 剩余 600 单位
（3）甲上升到 13800 需要调整，乙下降 60 不用调整。
（4）非紧缺资源设备 D 最多可以减少到 300，而紧缺资源—材料最多可以增加到 300，紧缺资源—设备 C 最多可 以增加到 360。
2.设第一次投资项目i为xi，第二次投资项目i 设为xi'，第三次投资项目 i设为xi′。
3.设每种家具的产量为
4.设每种产品生产xi
5．（1）设 xi为三种产品生产量
通过 Lindo 计算得 x1= 33, x2= 67, x3= 0, Z = 733
（2）产品丙每件的利润增加到大于6.67时才值得安排生产；如产品丙每件的利润增加到 50/6，通过Lindo计算最优
生产计划为：x1=29，x2= 46，x3= 25，Z = 774.9。
（3）产品甲的利润在[6,15]范围内变化时，原最优计划保持不变。
（4）确定保持原最优基不变的q 的变化范围为[-4,5]。
（5）通过 Lindo 计算，得到 x1= 32, x2= 58, x3= 10, Z = 707
第三章
1.原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同 时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值 yi
表示第 i种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解 Y定义 为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。∗
2.若以产值为目标，则 yi是增加单位资源 i 对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shad ow Price）。即有“影子价格=资源成本+影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，而是
企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂 不购进资源，减少不必要的损失。
3.（1）最优性定理：设，分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C
= b，则
T，a 分别为各自的最优解。
（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值 相等。
*
*
（3）互补松弛性：原问题和对偶问题的可行解 X、Y 为最优解的充分必要条件是,。
（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形法表中，初始基变量的检验数的负值。若 −YS对应原问题决策变量 x 的检验数； − Y 则对应原问题松弛变量xS 的检验数。4.表示三种资源的影子利润分别为 0.89、4.89 和 0，应优先增加设备 C 台时以及增加材 料可获利更多；14.89>12，所以设备 C 可以进行外协加工，200.89
购材料。
5.(1)求出该问题的最优解和最优值；
x1= x2= x4= 0, x3= 2, x5= 6, Z = 4
(2)该问题的对偶问题的最优解和最优值：y1= 2，y2== 0，w = 4
(3)分别为2、0，对产值贡献的大小；第一种资源限量由 2 变为 4，最优解不会改变。
(4)代加工产品丁的价格不低于 2×2+0×3=4。4
6.(1)设四种产品产量为xi,i= 1,2,3,4
(2)
影子价格分别为2、1.25、2.5。对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购 进。
(3)原料丙可利用量在[900,1100] 范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）。
(4)若产品 B 的价格下降了 0.5 元，生产计划不需要调整。
第四章
1.纯整数规划、0-1 规划、混合整数规划。
2.(1)首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。若相应的线性规划问 题
没有可行解，停止计算，这时原整数规划也没有可行解。
(2)定界过程。对于极大化的整数规划问题，当前所有未分枝子问题中最大的目标函数 值
为整数规划问题上界；在满足整数约束的子问题的解中，最大的目标函数值为整数规划问
题的下界。当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入剪枝过程。
(3)剪枝过程。在下述情况下剪除这些分枝：①若某一子问题相应的线性规划问题无可行解； ②在分枝过程中，求解某一线性规划所得到的目标函数值 Z 不优于现有下界。
(4)分枝过程。当有多个待求分枝时，应先选取目标函数值最优的分枝继续进行分枝。选
取一个不符合整数条件的变量 xi作为分枝变量，若 xi 的值是 bi*，构造两个新的约束条
*
件：xi≤[bi ] 或 xi≥[bi ]+1,分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。对任一个子 *
问题，转步骤(1)。
最整数解为： x1=4, x2=2, z = 340
4.解：设,tij 为个人对于个任务的时间耗费矩阵，则目标函
数为：
约束条件为：
解之得： x = 1，x = 1，x = 1，x = 1，其余均为0，z=70，即任务A由
213
4乙完成，任务B由甲完成，任务C由丙完成，任务D由丁完成。
5.解：设在第 i天应聘的雇员人数为xi。数学模型为：
解得：x1=0，x2=4，x3=32，x4=10，x5=34，x6=10，x7=4，Z=94。
第五章
1.解：建立目标约束。
（1）装配线正常生产
− 设生产A, B,C型号的电脑为 x1, x2 , x3（台），d 1 为装配线正常生产时间未利用数，d1 为装配线加班时间，希望装配线正常生产，避免开工不足，因此装配线目标约束为
（2）销售目标
优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子，A, B,C三种型号的 +
电脑每小时的利润是，，因此，老客户的销售目标约束为
再考虑一般销售。类似上面的讨论，得到
（3）加班限制
首先是限制装配线加班时间，不允许超过200h，因此得到
其次装配线的加班时间尽可能少，即
写出目标规划的数学模型
经过Lingo计算得到x1 = 100，x2= 55，x3=80。装配线生产时间为1900h，满足装 配线加班不超过200h的要求。能够满足老客户的需求，但未能达到销售目标。销售总利
润为100×1000+55×1440+80×2520=380800（元）。
2.解：假设三个工厂对应的生产量分别为300，200，400。
（1）求解原运输问题
由于总生产量小于总需求量，虚设工厂4，生产量为 100个单位，到各个用户间的运费单
价为0。用 LINGO软件求解，得到总运费是2950元，运输方案如下表所示。
（2）下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。
设xij工厂i(i =1,2,3)调配给用户j(j = 1,2,3,4)的运量，cij 表示从工厂i 到用户j的 单位产品的运输费用，aj(j = 1,2,3,4)表示第j个用户的需求量，bi(i =1,2,3)表示第i 个工厂的生产量。
i）供应约束应严格满足，即
ii）供应用户1 的产品中，工厂3的产品不少于100个单位，即
;
iii）需求约束。各用户的满足率不低于80％，即
应尽量满足各用户的需求，即
iv）新方案的总运费不超过原方案的10％（原运输方案的运费为2950 元），即
v）工厂2到用户4 的路线应尽量避免运输任务，即
vi）用户1和用户3 的满足率应尽量保持平衡，即
vii）力求总运费最少，即
目标函数为
经8次运算，得到最终的计算结果，见下表。总运费为3360 元，高于原运费 410元，超 过原方案10％的上限115 元。
3.设分别生产 A 机器 x1 台，B 机器 x2 台。目标函数为：
Lingo 计算结果为：生产 A 机器 15 台，B 机器 21 台，利润增加 4129 元，工序Ⅱ 加班 22.5 小时。
第六章
1.原有问题的求解就化为逐个求解几个简单的阶段子问题，当每一个阶段的决策子问题确定后，就组成了一个决策序列，每个阶段的决策一旦确定，整个决策过程也随之确定，此类把一个问题看作是一个前后关联具有明显阶段性的决策过程
就称为多阶段决策问题。
2.动态规划最优性原理导出了它的解题思路，即将决策问题划分为若干个阶段，将全过程的优化问题分解为子过程的优 化问题；逆着阶段顺序的方向，由后向前逐步倒推；各阶段求解都是在后部子过程最优策略基础上，再考虑本阶段的指
标函数，求出本阶段的最优策略；由后向前推算直到第一阶段为止，最优化的子过程逐渐成为最优化的全过程。
3.（1）模型建立
将三个营业区看作是三个阶段，即阶段变量 k =1,2,3；
第 k 阶段初尚未被分配出去的销售点是其决策的起点，则状态变量 Sk表示第 k 阶段初可分配的销售区数，Sk≥ 0，且初始状态已知 S1= 6 ；
决策变量xk表示第 k阶段分配给区A，B，C的销售店，允许决策集合状态转移方程为Sk+1=Sk-k
阶段指标Vk(Sk,xk)表示第k阶段从Sk销售点中分配给第k区 xk个的阶段效益；
最优指数函数 fk(Sk)表示第 k 阶段从 Sk开始到最后阶段采用最优分配策略取得的最大收益，递推方程函数式
（2）逆序求解
当 k =3 时
当k=2时
当 k =1 时
顺序递推，得出结论：第 A 小组建 3 个,第 B 区建 2 个，第 C 区建 1 个，4.（1）模型建立
多阶段性的月度生产决策，可以按月划分阶段，即阶段变量 k = 1, 2,3, 4 分别表示这四个 月。
上期未需求的产品将会进入仓库存放，供下期需求消费；下期生产与否，视期初库存数 量和当期需求量而定，第 k 月的期初库存反映出其状态特征。因此，状态变量 Sk表示第 k 月 期初的产品库存量，0≤ Sk≤4。
决策变量 xk表示第 k 月的实际生产量，允许决策集合 Xk(Sk){0 ≤ xk≤ 4}。
第 k 月的订货量记为 dk，而供给量为 Sk+ xk，则状态转移方程为 Sk+1=Sk+ xk-dk。
阶段指标vk(Sk ,xk)k表示第 k 月的费用。本月若不安排生产，则仅需支出存货费；若安排 生产，则需支出生产成本 和固定运营费，同时还需存货费。为了将存储问题简化，忽略本月 生产和需求产品的短期存货费。因此当 xk=0 时，v k(Sk ,xk)= H Sk= 1500Sk；当 xk＞0 时，最优指数函数 fkSk()表示第 k 阶段从期初库存 Sk 开始到最后阶段采用最优生产策略实现的最低生产费用。
（2）逆序求解
k =4 时，因为 4 月末交货后的计划存货 0 件，则 S5=0；第 4 月的订单需求 d4=1 万件，则由状态转移方程 S 5 = S4+ x4-d4知，S4+ x4= 1。
k=3 时，第3 月的订单需求d3=5万件，则满足需求有 S3+ x3≥ 5 ；而仓库的最大存货能力为 4 万件，则由状态转 移方程 S4= S3+-x3d3有 S3+ x3≤ 6。
k=2 时，第 2 月的订单需求d2=3 万件，则满足需求有 S2+ x2≥ 3 ；而仓库的最大存货能力为 4 万件，则由状态 转移方程 S3= S2+ x2-d2有 S2+ x2≤ 7。
k=1 时，企业现有存货0 件，即S1= 0，第1月的订单需求d1=2 万件，而仓库的最大存货能力为4 万件，则有 x ≤ 6。
1顺序递推，得出结论：第1 月生产5万件；由状态转移方程 S2= S1+x1-d 1 知，S2= 3，则第2月生产0 件；再由状 态转移方程S3= S2+ x2d2−知，S3= 0，则第 3 月生产 6 万件；再由状态转移方程 S4= S3+x3-d3 知，S4= 1，则第4月生产0 件。
5.每年为一个阶段，即阶段变量 k = 1, 2,3, 4,5 ；
状态变量 Sk 表示第 k 年初所拥有的完好机器台数，已知 S1=200；决策变量 xk 表示第 k 年投入超负荷生产的设备 数，则剩余设备 Sk− xk 投入低负荷的生产作业，允许决策集合 0≤ xk≤ Sk；
状态转移方程为S =(1-α)x +(1-β)(S-x)=0.85S-0.3x ；
k+1 k
k
k
k
k
阶段指标vk(sk,xk)表示第k年的收益，即 vk(sk,xk)=12xk+ 8(Sk-xk)=8Sk+4xk；
最优指数函数 fk(Sk)表示第 k 年从 Sk开始到 5 年末采用最优分配策略实现的最收益； 基本递推方程
边界条件：f6(s6)=0 k=5，最大，f5(s5)=12sk=4，由于 f4(s4)是关于 x4 的单增函数，故 x 4=S4 时，f4(s4)最大，f4(s4)=17.5S4，k=3，由于 f(s)是关于 x
5的单增函数，故 x * =s 时，f(s)
*
由于 f3(s3)是关于 x3 的单减函数，故x3 =0时，f3(s3)最大，f3(s3)=22.875s3。
* k=2，由于 f2(s2)是关于 x2 的单减函数，故 x 2=0 时，f2(s2)最大，f s2()2=27.44375 s1。
最优作业安排策略是前三年将低负荷，后两年全部重负荷。s1=200，而 x1 =0，则S2=0.85S1-0.3x1=170台；同 理，由x2 =0，则 S3=0.85S2-0.3x2=144台；由x
*
*
*
*
S5=0.85S4-0.3x4=67台；由 x5=0，则S4=0.85S3-0.3x3=122 台；由 x4
*
*
=S4=122 台，则
=S5=36 台。
第七章
1.求得的最小树如下图：
2.（1）给网络始点v s 标号(vs,0)，并在标号下面画横线表示为永久标号；并给从 vs出发的各弧的点vj赋予临时标号(ws,v sj)，不能一步到达的点赋予临时标号(vs, ∞)。
（2）在所有临时标号中选择路权最小者，即结点 v1，将v1 的临时标号变为永久标号，在 标 号 下 画 横 线。然
后，考 察 从 1 出 发 的 各 弧 的 点 vj的 临 时 标 号 ： 结 点 5 的 路 权 d5= min{∞,d1+w 15 } = min v v {∞,4+5}=9，则将v5 的临时标号变为(v1,9)，并划去其原有较大的临时标号(vs, ∞)；同理，对于结点 v4，临时标 号变为(v1,8)；对于结点 v2，临时标号变为(v1,11)；其他结点标号不变。
（3）依此类推，重复上述标号过程。当所有标号都是永久标号，即每一个标号下都画上横线时，则标号过程结束。vt 的后一个标号为vs到vt的最短路权，即14；根据vt的另一个标号反向追踪求得 vs到vt的最短路径为{vs,v3,v2,v6, vt} 3.（1）网络的中心
从表中可得出：各列之和的最小值为 22，对应的点 D 即是网络的中心；也可以根据各行选择最大值，再从中选择最小
值为 5，同样对应的点 D 是网络的中心。因此，仓库应建在位于网络中心的销售点 D。
（2）网络的重心
各列加权之和的最小值为 9000，对应的点 D 是网络的重心位置。因此，仓库应建在位于网络重心的销售点 D。
（3）企业在自建仓库时，一般采用中心法，因为企业自营的仓库不能搬动；而企业选择租赁仓库时，一般采用重心法，因为租赁的仓库由于合同期限等原因可以变动位置。另外，如果企业生产的产品多为创新型产品，这类产品的边际贡献 率高，产品更新速度快，顾客群变动较大，销售区域也有可能发生变化，则选择租赁仓库时宜使用重心法。
4.先根据图写出结点之间的弧权矩阵，如下表所示。
取上表的v 行数据即为 1 = w
d ；第一次迭代是 d 列的元素与下表中第1-6列对应元素 相加取最小，得到 d 2
列；其余函数迭代过程以此类推。11j1j
1j
1j
由于 d 1j = d 1j，则迭代结束，此时 d 1j 列的各元素，即为 v1 到其余各点的最短路权。再根据 d 1j 列各元素的来源，3 4 3
可以追踪最短路径。例如，追踪 v 到v 的最短路径，对于d =6，d +w =4+2=6 计算而得，则 v 的前一个点 3 1 6 16 14 46 61 1
是v ；再根据 d =4进行追踪，这是由d +w =1+3=4计算而得，则 v 的前一个点是 v ；再看 d =1,这是14 24 24 4 2 12 由w =1 而得的，所以最短路径为v →v →v →v。1 2 4 6 5.（1）将问题转换成最短路问题，如 3
（2）给网络始点v 1 标号(v1,0)，并在标号下面画横线表示为永久标号；并给从v1 出发的各弧的点 vj赋予临时标号(v 1,v1j)。
在所有临时标号中选择路权最小者，即结点v2，将v2 的临时标号变为永久标号，在标号下画横线。然后，考察从v 2 出 发的各弧的点v 的 临 时 标 号 ： 结 点 v 的路权 d = min{22,d +w } = min{22,16 +17} = 22，则v
j
临时标号不变；同理，对于结点v4、v5 临时标号均不变。
依此类推，重复上述标号过程。当所有标号都是永久标号，即每一个标号下都画上横线时，则标号过程结束。v5 的后一 个标号为v1 到v5的最短路权，即41；根据v5的另一个标号反向追踪求得v1到 v5的最短路径为{v1,v5}。
费用最小的方案为：第一年购置设备，此后四年不再更新。
6.根据题意，可以画出如下的网络图。
从表中可以看出，方案路线v →v →v →v2
410
→v 与 v →v →v →v
212
1→v 最短，对应的费用均为130。
7.（1）首先设置初始流量，如下图：
逐步增加流量，如下图：
弧(v4,v7)、(v6,v7)、(v5,v7)均为饱和流，不能再增加流量，因此得到 v1
（2）由 于 弧(v 到 v7 的最大流。
4,v7)、(v6,v7)、(v5,v7)都 是 饱 和 弧，所 以 从 此 截 开，S ={v1,v2,v3,v4,v5,v6}，*
={v7 }，得
到最小截集(S* ,)= {(v4,v7)、(v6,v7)、(v5,v7)}，其截量为 2+3+2=7。
8.（1）所给流是否是可行流。即
①容量限制：对每条弧(vi, vj)∈ A，都有 0 ≤ xij≤ bij；
②平衡条件：中间各点的流出量等于其流入量。
（2）画出赋权有向图，如下：
存在负回路v1→v2→v3，总权数为 2-6-3=-7。则目前的网络流需要调整。,进行流量调整，弧(v1, v2)存在负回路方向一致与负回路方向一致，则其流量调整为 x12+θ=2+1=3；而弧(v3,v2)与负回路方向相反，则其流量调整为 x32− θ =1-1=0；弧(v1,v3)与负回路方向相反，则其流量调整为 x13-θ =4-1=3。调整后的网络为：
再画出赋权有向图：
上图中找不到负回路，因此，调整后的可行流就是最小费用流。最小费用为各弧上流量和单位费用的乘积之和，从左向 右依次为 2×4+6×1+3×2+3×3+0×6+5×1+3×2=40。
第八章
1.（a）结点②到结点⑤之间出现两条线，分别为工序 d、e，而两个结点之间只能有一 条箭线相连，否则会造成逻辑错误，因此应该引入虚工序，如下图所示。
（b）结点⑤到结点⑥之间的虚工序是不需要的；网络图中出现两个终结点⑦、⑧，因此修
改后如下图所示。
（c）网络图中 a、b、d 三道工序出现循环回路，违背了绘制网络图的规则。
2.（1）（2）
3.4.5.（1）
（2）
（3）首先考虑缩短非关键作业 E 或 D 的时间。
6.（1）首先根据表中数据画出网络图，并标出各结点时间参数，图中粗线表示关键路线。
（2）画出初始进度
7.首先计算费率：
方案 I：各道作业正常完工
关键工序为：①→②→③→④→⑥→⑧。费用 C(I)=正常完工直接费用+间接费用=131
0+15×27=1715 元。方案 II：关键路线上赶进度在关键线路上赶工，费率最小的为工序 ①→②，最多可赶工 2 天。非关键工序总时差为： R(4 → 7)= 5，R(3 → 5)=。所以工序①→②赶工 2 天。
关键工序仍为：①→②→③→④→⑥→⑧。费用 C(II)=正常完工直接费用+赶进度增加的直接费用+间接费用=1310+10×2+15× 25=1705 元。比较两个方案，方案 II 比
方案 I 的周期缩短 2 天，同时工程费用降低 10 元。方案 III：关键路线上赶进度确定
赶进度作业：再继续看关键路线①→②→③→④→⑥→⑧，费率最小的为工序②→③和⑥→ ⑧，分别最多可赶工 4 天和 1 天。所以工序⑥→⑧赶工 1 天。
关键工序仍为：①→②→③→④→⑥→⑧。费用 C(III)=正常完工直接费用+赶进度增加 的直接费用+间接费用=1310+10×2+20× 1+15×24=1710 元。方案 III 比方案 II 的工期缩短 1 天，但费用却增加了 5 元。如果继续压缩，工程总费用将急剧增加，因此
认为方案 II 为最优方案，对应的最低成本日程为 25 天。
8.首先计算平均作业时间：
关键工序为：c→d→f→i→j 和 c→d→g→i→j。Ⅰ工程工期的期望为关键作业期望时间之
和，即 µE= µc+ µd+ µf+ µi+ µj= 59，工程工期的方差为关键作业时间的方差之和，即
反查标准正态分布表知α=58.71%。即现有技术方案，对
。已知合同工期 T = 60，则
于工期 60 天，完工的概率为 58.71%。
Ⅱ工程工期的期望为关键作业期望时间之和，即 µE= µc+ µd+ µg+ µi+ µj= 59，工
程工期的方差为关键作业时间的方差之和，即
合同工期 T = 60，则
。已知，反查标准正态分布表知α = 59.48%。即现有技术方案，对于工期 60 天，完工的概率为 59.48%。
第九章
1．2．计算出损益值矩阵：
3．由于展销期间有雨的概率为 0.75，没雨的概率为 0.25，则认为展销期间的天气状况
将是“有雨”。按照最大可能准则，在有雨的状态下进行决策。显然，决策者会选择S2 方案，此时损失最小，为 10 万元。
4．最大可能性准则：由于销售量为 180 本销售比例为 40%，可能性最大，在销量为 1
本的状态下进行决策，决策者会选择订购 180 本。
收益期望值：计算各订购量的期望收益值如下
最大收益期望值为 344 万元，决策者会选择订购 180 本。
5．画出决策树：
结点 2 E(2)=0.5×80+0.4×40+0.1×10=57 万元；
结点 3 E(3)= 0.5×60+0.4×40+0.1×20=48 万元；
结点 1 是决策结点，需要进行抉择，结点 2 的期望值为最大，故应选择扩建电站。
6.可根据自己的实际情况画出决策树：
7．（1）建大厂的期望收益为：
E(S1)=[100×0.5+60×0.3+(-20)×0.2]×10-280=360 万
建小厂的期望收益为
E(S2)=[25×0.5+45×0.3+55×0.2]×10−140=230 万
因为 E(S1)>E(S2),所以应该选择建大厂。
（2）将收益 720 万元的效用值定为1，记U(720)=1，最低收益值-480 万元的效用值
定为0，记 U(480)=0.U(-120)=0.5×U(720)+0.5×U(-480)=0.5×1+0.5×0=0.5 U(180)=0.5×U(720)+0.5×U(-120)=0.5×1+0.5×0.5=0.75 U(-340)=0.5×U(480)+0.5×U(-120)=0.5×0+0.5×0.5=0.25 根据已知的几个收益值点的效用值，画出效用曲线：
从该效用曲线可以看出，该经理是风险厌恶者。如果采用建大厂的方案，一旦出现市场需求 量低的状况，会亏损 20 万元，风险太大；而采用建小厂的方案，不会出现亏损。因此，经理决定建小厂。
第十章
1．1）建立层次模型
2）构造判断矩阵
3）一致性检验
4）层次单排序
5）层次总排序
2.一个因素被分解为若干个与之相关的下层因素，通过各下层因素对该因素的重要程度两两 相比较，构成一个判断矩阵。
通常我们很难马上说出所有 A1，A2，…，An之间相对重要程度，但可以对 Ak与 Aj间两 两比较确定，取一些相对数值为标度来量化判断语言，如表所示。
3.一致性是指判断矩阵中各要素的重要性判断是否一致，不能出现逻辑矛盾。当判断矩阵中 的元素都符合一致性特性时，则说明该判断矩阵具有完全一致性。
引入判断矩阵的一致性指标 C.I.，来检验人们思维判断的一致程度。C.I.值越大，表明判 断矩阵偏离完全一致性的程度越大；C.I.值越小（越接近于 0），表明判断矩阵的一致性越
好。
对于不同阶的判断矩阵，其 C.I.值的要求也不同。为度量不同阶判断矩阵是否具有满意的 一致性，再引入平均随机一致性系数指标 R.I。
C.I.与 R.I.之比称为随机一致性比值记作 C.R。当 C.R.
4.层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某要素来说，排出评比的优劣次序所谓层次总 排序就是针对最高层目标而言，本层次各要素重要程度的次序排列。
5.将各指标值无量纲化和无极性化，可以使各指标的评价尺度统—，然后才能对各方案的价 值进行分析和评价。
6.计算 O-U 判断矩阵的相对权重向量：
即准则层的相对权重向量WU =(0.1634,0.2970,0.5396)。近似计算最大特征根 λ
T
ma
x
进行一致性检验
可见，随机一致性指标 C.R.
(U1,U2，U3)的相对权重也就是其绝对权重(0.1634, 0.2970, 0.5396)。A1、A2、A3
相对于各个指标的权重就是各型号相对于各个指标的得分，将两者对应相乘，可以得到各个
方案的分数，如下表所示：
可以看出，A1型号的得分最高，A3型号其次，A2型号最低。因此，应优先选择 A1 型号。
7.指标值无极性化处理：利润，成本和投资指标中，投资、成本是极小值极性，用各行的最小值与该行的每个元素之比，去掉指标极性；利润是极大值极性，用各行的每个元素与该 行的最大值之比，去掉指标极性。
再用指标的权重向量进行综合权衡，即用指标的权重与对应列的对应元素相乘求和：
从上表可以得出按个方案的得分，各个方案的次序为 A3、A1、A2。
8．（1）先计算 O-U 判断矩阵的权重向量，得到 WU =(0.4832,0.2717,0.1569,0.0882)T
进行一致性检验
可见，随机一致性指标 C.R.
（2）指标值无极性化处理
价格低廉性、交货提前期是极小化指标。质量合格率、按时交货率是极大化指标。
（3）指标值无量纲化处理
采用均值化法处理，用各行的每个元素与该行的平均值之比
a294
按照综合评价值的大小，确定供货商履约的顺序为供应商 Co.4、Co.3、Co.1、Co.5、C
o.2。
第十一章
1.解：根据经济订货批量公式和已知条件，经济订货批量 Q
*
最优订货次数
年总费用为
2.解：根据经济订货批量公式和已知条件，经济订货批量 Q
*
单位时间总费用为
3.解：根据经济订货批量公式和已知条件，经济订货批量 Q
*
经济订货批量 Q *
最大库存量
最大缺货量
单位时间总费用为
或者：
4.解：根据经济生产批量公式和已知条件，经济生产批量 Q
*
5.解：根据订货点公式和已知条件
由于没有告诉需求的方差，则 σD = 0，不需要安全库存，即有 订
货点
6.解：根据经济订货批量公式和已知条件
希望存贮量达到最低限度应取 27 件
7.解：根据经济批量公式和已知条件，显然，总费用最低的生产批量为 25298 个，此时的总费用为 87589 元。
8.解：由已知条件可知 v =2，u =8，临界值
由表中的数据可知 F(25)=0.1, F(26)=0.4，于是最优进货量为 26 筐
9.解：由已知条件可知 K=5000 元，c=4000 元，H=60 元，因缺货而紧急调货，单
价 4300 元，可知缺货费用 L=4300 元。
电子产品的销售量服从在区间［75，100］内的均匀分布
s 的值应满足：
经积分和整理后，方程为 87.2s −13380s + 508258 = 0，解方程得： s = 69.14
2和 s = 84.292，由于 84.292> S = 76.7，应舍去，所以取 s = 69.147。
因此，这个问题的足有策略应是：商店的电子产品需订购 S − x = 76.7 − 0 ≈ 77 台。
第十二章
1.（1）在t=30 时系统内有 20 个顾客的概率等于在t=30−15=15 时间内到达 n=20 −10=10个顾客的概率。
在t=15至t=30这段时间内到达的平均数为λt=20×15=300个。
在t=30时系统中有 20个顾客的概率：
（2）系统中顾客的平均数为λt，因此，当t=10时，λt=20×10=200 个，当t=20时，λt=20×20=400个。
2.3.4.这是M/M/1与 M/M/2，队长无限系统的混合情况，λ=30 人/小时，µ=40 人 /小时；
µ′=60 人/小时。
5.6.这里 为正在服务台接受被服务顾客的平均数，则平均被服务顾客数为
。所以，在多服务台情况下，7.（1）服务时间服从负指数分布：
服 务 时 间 服 从 定 长 分 布 ：，根 据 PK公式，当服务时间服从负指数分布情况下每个顾客在队伍中的期望等待时间大于服务时间服从定 长分布情况。
（2）服务时间服从负指数分布：
服务时间服从定长分布：
